erzwungene harmonische Schwingung

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tine
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erzwungene harmonische Schwingung

Beitrag von tine » 11.05.2018, 15:31

Hallo,

ich habe gerade ein Problem mit einem Übungsbeispiel, vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Das Beispiel lautet:
Erzwungene harmonische Schwingung eines gedämpften Oszillators: Bei welcher Frequenz w ist die Amplitude der Schwingung maximal?
Mein Problem liegt eher auf der mathematischen Seiten, genauer beim Ableiten.

Meine Rechenweg:

IA(w)I = F0/m * 1/ die Wurzel aus (w-w0)^2 +γ*w^2

Der gesamte Nenner steht unter der Wurzel.

Mein nächster Schritte wäre diese oben genannte Formel abzuleiten und dann Null setzen. Jedoch habe ich große Probleme beim Ableiten.

Bitte um eure Hilfe.

Danke!

rubikus1
Beiträge: 8
Registriert: 13.12.2015, 22:37

Re: erzwungene harmonische Schwingung

Beitrag von rubikus1 » 06.06.2018, 15:29

Ich hoffe es hilft dir noch, wenn nicht, dann vielleicht nachfolgenden die die Prüfung machen wollen. Ich empfehle dir den komplexen Ansatz wie im Demtröder ab 11.27 beschrieben, damit kommt man ohne Sin Cos Additionstheoreme zum Ziel. Nichtsdestotrotz bleibt dir der etwas der Form

|A|=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\gamma\omega)^2}}
oder wenn dus komplex rechnest
A=\frac{F_0/m*(\omega_0^2-\omega^2-2i\gamma\omega)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\gamma\omega)^2}
Da der Nenner (\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\gamma\omega)^2 \geq 0 wird die Amplitude genau dann maximal, wenn der Nenner minimal wird. Es gnügt also den Nenner abzuleiten und null zu setzen.
\frac{\partial}{\partial \omega}[(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\gamma\omega)^2] = 0 \\
2(\omega_0^2-\omega^2)*(-2\omega)+2*4\gamma^2\omega=0\\
-4\omega_0^2+4\omega^2+8\gamma^2=0 \qquad (oder \qquad \omega=0 )\\
\omega=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}
Daher für diesen Wert wird der Nenner minimal und damit die Amplitude maximal

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