DGen und das Superpositionsprinzip
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Wenn Du Lösungsansätze zu Beispielen suchst oder schreibst, stelle nach Möglichkeit auch die dazugehörenden Angaben zur Verfügung - am besten als Dateianhang, da die meisten Übungsangaben auf Institutshomepages nach einem Semester gelöscht werden.
So haben auch die nächsten Semester noch etwas davon
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DGen und das Superpositionsprinzip
Hi, wollte im Zusammenhang mit dem harmonischen Oszillator fragen, ob hier jemand 'ne verständliche Erklärung dafür weiß, weshalb für homogene lineare DGen das Superpositionsprinzip gilt, die Linearkombination der beiden Lösungen also die allgemeine Lösung ist. Hoffe ich hab das richtige Forum erwischt, danke!
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Re: DGen und das Superpositionsprinzip
Weil es auch für die Ableitungen gilt.
Angenommen, wir haben
a x'' + b x' + c x = 0
Wenn u und v mögliche Lösungen für x sind, d.h. wenn
a u'' + b u' + c u = 0
a v'' + b v' + c v = 0
------------------------ zusammenzählen
a (u'' + v'') + b (u' + v') + c (u + v) = 0
Da jetzt aber u'' + v'' dasselbe ist wie (u + v)'', gilt auch
a (u + v)'' + b (u + v)' + c (u + v) = 0
und damit wäre das Superpositionsprinzip bewiesen.
Hoffe das war jetzt kein totaler Schwachsinn...
Angenommen, wir haben
a x'' + b x' + c x = 0
Wenn u und v mögliche Lösungen für x sind, d.h. wenn
a u'' + b u' + c u = 0
a v'' + b v' + c v = 0
------------------------ zusammenzählen
a (u'' + v'') + b (u' + v') + c (u + v) = 0
Da jetzt aber u'' + v'' dasselbe ist wie (u + v)'', gilt auch
a (u + v)'' + b (u + v)' + c (u + v) = 0
und damit wäre das Superpositionsprinzip bewiesen.
Hoffe das war jetzt kein totaler Schwachsinn...