Hilfe bei Gleichungssystem

[v1ech]

Hey!
Ich bin grad dabei ein Beispiel aus der VO Prüfung vom 11.5. zu rechnen und es ist eine kleine Unklarheit aufgetaucht, von der ich hoffe, dass sie jemand von euch erklären kann:



Zur Überprüfung, für welche Werte Beta das GLS lösbar bzw nicht lösbar ist, hab ich das Kriterium hergenommen, dass für Lösbarkeit die Determinante von A ungleich Null sein muss. Berechne ich die Determinante und setze sie gleich Null erhalte ich die Lösungen {2, -3} des quadratischen Polynoms.

Probehalber hab ich diese Werte nochmals in meine Matrix eingesetzt und mittels Gauß den Rang errechnet.
Für Beta = -3 kommt tatsächlich heraus, dass Rang(A) = 2 =/ Rang(A|b) = 3
Damit ist eindeutig gezeigt, dass es für -3 keine Lösung gibt.

Für Beta = 2 erhalte ich aber nach Umformen, dass Rang(A) = Rang(A|b) = 2, was allerdings Lösbarkeit bedeutet.

Warum stehen die Aussagen nun in Widerspruch zueinander?

Danke im Voraus und Lg!

[langust]

Wenn ich mich grad nicht irre, ist das Determinantenkriterium ein Kriterium für eindeutige Lösbarkeit, weshalb deine Argumentation eigentlich auch völlig richtig ist.
Für -3 nicht lösbar (Rang A =/= Rang Ab
Für 2 nicht eindeutig lösbar (Rang A=Rang Ab < Dimension des Glg-systems)
Für alle anderen eindeutig lösbar.

[v1ech]

Du hast recht... grad hab ich im Skriptum ganz unscheinbar gefunden, dass eine detA =/ 0 einen vollen Rang induziert.
Damit ist nun denk ich die Vorgehensweise klar.

Danke

[v1ech]

Kurze Zusatzfrage noch:

Es wird immer nach dem Bild gefragt und ich weiß auch, dass die dimBild(A) gleich dem Rang ist usw.

Wenn nun für alle Beta, für die das System eindeutig lösbar ist, nach dem Bild gefragt ist kann ich also folgendes sagen:
Das system ist eindeutlig lösbar und besitzt daher vollen Rang = 3 ==> mein Bild hat die Dimension 3.
Ich schnapp mir nun aus meiner Matrix A einfach die 3 Zeilenvektoren z1, z2 und z3 (linear unabhängig) und schreib sie als Vektoren in eine Menge und sag, das ist mein Bild.

Is diese Vorgehensweise soweit richtig?

Analog kann ich dann für Beta = 2 (lösbar aber nicht eindeutig) sehen, dass mein Rang = 2 ist ==> dimBild = 2 und dimKern = 1.
Ich schnapp mir wieder die ersten beiden Zeilen meiner Matrix und schmeiß sie in die Bildmenge rein oder?

Wie ich den Kern berrechne ist mir im Übrigen sowieso klar.

Lg

[langust]

Jap, is vollkommen korrekt so, soweit ich weiß dürftens sogar l.u. Spaltenvektoren sein, aber 100%-ig sicher bin ich nicht, mit Zeilen machst du sicher nichts falsch

[v1ech]

Ist es dabei Egal ob ich die Zeilen der Urmatrix nehme oder die bereits auf Dreiecksform gebrachte?

[langust]

Naja, elementare Umformungen ändern ja nichts an der Matrix, mir fiele kein Grund ein warum du nicht die der Dreiecksmatrix nehmen dürftest...

[scherzkrapferl]

Ist es dabei Egal ob ich die Zeilen der Urmatrix nehme oder die bereits auf Dreiecksform gebrachte?

wenn nach dem Bild gefragt wird, ist eigentlich die Basis des Bildes gemeint.

DIE BASIS DES BILDES IST DIE LINEARE HÜLLE DER SPALTENVEKTOREN !!!

nix da mit Zeilen... das macht nen riesen Unterschied !!!!

du musst doch die Spaltenvektoren nehmen, wenn du die Basis des Bildes errechnen willst. Also checken ob die Spalten lin. unabh. sind.
es ist aber egal ob du die der "Urmatrix" oder der "Dreiecksform" (oder jeglicher anderen zulässigen Umformung) nimmst ..

LG