Hey ich bin grad am Lin Alg VO lernen und hab bissl Probleme mit den wahr/falsch Fragen, bei denen man entweder ein Gegenbeispiel geben soll, oder eine Begründung/Beweis.
Hier wären ein paar die sich des öfteren wiederholen und bei denen es nett wäre wenn mir jmd weiter helfen könnt. Ich bin mir bei einigen über die Antwort sicher, aber bei der Argumentation haperts manchmal ein bissi..
1., Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
Sei A eine NxN-Matrix über den reellen Zahlen
A ist regulär <-> Rang(A)=n <-> det(A)=0 <-> Kern(A)={0} <-> Bild(A)=R^n
2., DIe NxN-Matrix A ist diagonalisierbar genau dann, wenn sie eine Eigenbasis besitzt. Das ist genau dann der Fall wenn die algebraische und geometrische Vielfachheit aller EW gleich sind
3., Die NxN-Matrix A ist regulär, genau dann, wenn ihre EW positiv sind.
(f. zb )
4., Die NxN-Matrix A ist symmetrisch, genau dann wenn sie diagonalisierbar ist.
(Ich weiß, ist schon öfter aufgetaucht, wenn mir aber vlt jmd genau aufschreiben könnt, was als Antwort passt wär das super..)
5., Die NxN-Matrix A ist regulär. Es gilt det(A^-1)=(det(A))^-1
6., Die NxN-Matrix A ist symmetrisch. Dann besitzt A eine orthogonale Eigenbasis, dh stehen paarweise senkrecht aufeinander.
7., Die NxN-Matrix A mit n verschiedenen Eigenwerten besitzt eine Eigenbasis.
8., Die NxN-Matrix A ist diagonalisierbar. Dann ist ihre Eigenbasis eindeutig.
und zu guter letzt das beliebteste Bsp, ist jetzt allerdings keine w/f Frage.
Geben sie 3 verschiedene Lösbarkeitskriterien für ein LGS A*x=b an.
Mir fallen nur ein Rang(A)=Rang(A|b) und b im Bild(A), wobei die doch äquivalent sind?
Danke für alle Antworten ^^
und LG Jakob
Einige Fragen
Forumsregeln
Wenn Du Lösungsansätze zu Beispielen suchst oder schreibst, stelle nach Möglichkeit auch die dazugehörenden Angaben zur Verfügung - am besten als Dateianhang, da die meisten Übungsangaben auf Institutshomepages nach einem Semester gelöscht werden.
So haben auch die nächsten Semester noch etwas davon
Wenn Du Lösungsansätze zu Beispielen suchst oder schreibst, stelle nach Möglichkeit auch die dazugehörenden Angaben zur Verfügung - am besten als Dateianhang, da die meisten Übungsangaben auf Institutshomepages nach einem Semester gelöscht werden.
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Re: Einige Fragen
Ich habe für die Prüfung rausgesucht gehabt:Geben sie 3 verschiedene Lösbarkeitskriterien für ein LGS A*x=b an.
Mir fallen nur ein Rang(A)=Rang(A|b) und b im Bild(A), wobei die doch äquivalent sind?
- Rang(A)=Rang(A|b)
- b Element des Bildes
- eindeutig wenn Rang A = n = voll -> det(A)=0 -> Ax=0 nur mit trivialer Lösung x=0 lösbar
- Rang<n -> es existieren linear unabhängige Lösungsvektoren -> allgemeine Lösung -> z + Kern(a) -> nicht eindeitig
- Rang(A)<Rang(A|b) -> unlösbar
- Abbildung von A ist surjektiv
Meiner Meinung nach richtig wenn algeb. und geo. Vielf. für alle verschiedenen EW gleich istDIe NxN-Matrix A ist diagonalisierbar genau dann, wenn sie eine Eigenbasis besitzt. Das ist genau dann der Fall wenn die algebraische und geometrische Vielfachheit aller EW gleich sind
3. so wie du
Meiner Meinung nach falsch eine diagonalisierbare Matrix muss nicht symmetrisch sein4., Die NxN-Matrix A ist symmetrisch, genau dann wenn sie diagonalisierbar ist.
sonst kann ich mich nicht mehr an allzu viel erinnern. bzw hoffe ich dass das stimmt was ich da aufgeschrieben habe
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Re: Einige Fragen
Überleg dir mal die hier: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... %2C0%7D%7DJakobM hat geschrieben:4., Die NxN-Matrix A ist symmetrisch, genau dann wenn sie diagonalisierbar ist.
(Ich weiß, ist schon öfter aufgetaucht, wenn mir aber vlt jmd genau aufschreiben könnt, was als Antwort passt wär das super..)
Such dir deine Rechenregeln für Determinanten raus, dann wirst du schnell haben, ob es stimmt oder nicht.5., Die NxN-Matrix A ist regulär. Es gilt det(A^-1)=(det(A))^-1
Stichwort: Spektralsatz. Dem wirst du noch oft über den Weg rennen, also schau genau hin. (mit Variationen, im Allgemeinen "normal", statt Matrix selbstadjungierte Abbildung.)6., Die NxN-Matrix A ist symmetrisch. Dann besitzt A eine orthogonale Eigenbasis, dh stehen paarweise senkrecht aufeinander.
Mit der Fragestellung bin ich unglücklich: Sie ist an und für sich falsch, da man einen beliebigen Eigenvektor skalieren kann, und er bleibt Eigenvektor. Auf der anderen Seite sind die Eigenräume allesamt 1-dimensional und eindeutig (das sind Eigenräume immer), setzt man also z.B. Normiertheit und das alle Vektoren in einer bestimmten Hälfte des R^n liegen müssen vorraus, ist sie sehr wohl eindeutig. Aber nur dann, was sehr leicht verwirren kann.8., Die NxN-Matrix A ist diagonalisierbar. Dann ist ihre Eigenbasis eindeutig.
- JakobM
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Re: Einige Fragen
Danke sehr euch beiden.
Also dh dann:
1., wahr (aber werde ich das alles beweisen müssen?)
Was mir klar ist is: detA≠0 <-> RangA=n, denn wäre er kleiner wären zb in der letzten Zeile der Matrix nur Nuller und detA=0,
außerdem wenn KernA={0} gilt nach dimBildA+dimKernA=n dimBildA=n und BildA=R^n
dann RangA=n <-> KernA={0}, denn A*x=0 kann nur die Lsg x_1=...=x_n=0 haben
und (ohne Beweis) RangA=n <-> A ist invertierbar;
laut Definition ist eine Matrix regulär wenn es eine andere Matrix B (die Inverse) gibt mit A*B=I, wobei I die Einheitsmatrix und es gilt A ist invertierbar <-> A ist regulär, damit RangA=n <-> A ist regulär
stimmt das überhaupt soweit?
2., wahr (Begründung?)
3., f. Gegenbeispiel
4., f. Gegenbeispiel
?
oder sollte man das eher auf eine wahre Aussage umstellen?
5., w. es gilt:
det(I)=det(A*A^-1)=1 außerdem det(A)*det(A^-1)=1 und damit
det(A^-1)=1/det(A)
6., Stichwort Spektralsatz ^^
7., müsste doch falsch sein, denn wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat ist zwar die algebraische Vfh jedes einzelnen Eigenwerts=1, aber die geometrische Vfh muss noch nicht gleich der algebraischen Vfh sein.
Habe allerdings kein Gegenbeispiel
edit:
ist richtig, denn die geometrische Vfh muss größer 1, aber kleiner der algebraischen Vfh sein, also in diesem Fall gleich 1 und, damit stimmt sie für jeden EW mit der alg. Vfh überein -> Eigenbasis
8.,
wieso sind denn die Eigenräume 1-dimensional? Wenn es mehrere l.u. EV zu einem EW gibt, dann müsste dieser doch die lineare Hülle aller EV sein und damit doch nicht eindimensional, oder?
Also dh dann:
1., wahr (aber werde ich das alles beweisen müssen?)
Was mir klar ist is: detA≠0 <-> RangA=n, denn wäre er kleiner wären zb in der letzten Zeile der Matrix nur Nuller und detA=0,
außerdem wenn KernA={0} gilt nach dimBildA+dimKernA=n dimBildA=n und BildA=R^n
dann RangA=n <-> KernA={0}, denn A*x=0 kann nur die Lsg x_1=...=x_n=0 haben
und (ohne Beweis) RangA=n <-> A ist invertierbar;
laut Definition ist eine Matrix regulär wenn es eine andere Matrix B (die Inverse) gibt mit A*B=I, wobei I die Einheitsmatrix und es gilt A ist invertierbar <-> A ist regulär, damit RangA=n <-> A ist regulär
stimmt das überhaupt soweit?
2., wahr (Begründung?)
3., f. Gegenbeispiel
4., f. Gegenbeispiel
?
oder sollte man das eher auf eine wahre Aussage umstellen?
5., w. es gilt:
det(I)=det(A*A^-1)=1 außerdem det(A)*det(A^-1)=1 und damit
det(A^-1)=1/det(A)
6., Stichwort Spektralsatz ^^
7., müsste doch falsch sein, denn wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat ist zwar die algebraische Vfh jedes einzelnen Eigenwerts=1, aber die geometrische Vfh muss noch nicht gleich der algebraischen Vfh sein.
Habe allerdings kein Gegenbeispiel
edit:
ist richtig, denn die geometrische Vfh muss größer 1, aber kleiner der algebraischen Vfh sein, also in diesem Fall gleich 1 und, damit stimmt sie für jeden EW mit der alg. Vfh überein -> Eigenbasis
8.,
wieso sind denn die Eigenräume 1-dimensional? Wenn es mehrere l.u. EV zu einem EW gibt, dann müsste dieser doch die lineare Hülle aller EV sein und damit doch nicht eindimensional, oder?
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Re: Einige Fragen
Schau mal im Skript auf Seite 108 Satz 5.19
und im Übungsskript die Aufgabe 7.10+Lösungen die is sicher nützlich für die Prüfung..
lg
und im Übungsskript die Aufgabe 7.10+Lösungen die is sicher nützlich für die Prüfung..
lg
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Re: Einige Fragen
=>JakobM hat geschrieben:Danke sehr euch beiden.
Also dh dann:
1., wahr (aber werde ich das alles beweisen müssen?)
Was mir klar ist is: detA≠0 <-> RangA=n, denn wäre er kleiner wären zb in der letzten Zeile der Matrix nur Nuller und detA=0,
außerdem wenn KernA={0} gilt nach dimBildA+dimKernA=n dimBildA=n und BildA=R^n
dann RangA=n <-> KernA={0}, denn A*x=0 kann nur die Lsg x_1=...=x_n=0 haben
und (ohne Beweis) RangA=n <-> A ist invertierbar;
laut Definition ist eine Matrix regulär wenn es eine andere Matrix B (die Inverse) gibt mit A*B=I, wobei I die Einheitsmatrix und es gilt A ist invertierbar <-> A ist regulär, damit RangA=n <-> A ist regulär
stimmt das überhaupt soweit?
A invertierbar -> A surjektiv -> Im(A) = R^n
<=
Rang A = n -> Im(A) = R^n <-> A surjektiv
Rang A = n -> Defekt A = 0 <-> ker A = {0} -> A injektiv
-> bijektiv, insbesondere invertierbar.
Diagonalisierbar heißt, dass eine Basis gibt, bezüglich der die transformierte Matrix Diagonalgestalt hat. Gibt es eine solche, ist jeder der Basisvektoren trivialerweise Eigenvektor. Das charakteristische Polynom muss als Nullstellen die Einträge dieser Diagonalmatrix haben, sprich, die Einträge müssen die Eigenwerte sein. Daraus kann man ablesen, dass geometrische gleich der algebraischen Vielfachheit sein muss.2., wahr (Begründung?)
Umgekehrt, hat die Matrix eine Eigenbasis, so kannst du sie bezüglich dieser transformieren, und nach Vorraussetzung muss diese Diagonalgestalt haben, wobei die Eigenwerte die Einträge in der Diagonale sind.
Ich geh schon davon aus, dass du dir das selbst durchdenk. Ich brauch für die Prüfung nicht lernen. ;P4., f. Gegenbeispiel
?
oder sollte man das eher auf eine wahre Aussage umstellen?
Same here. Den solltets ihr gemacht haben. (;6., Stichwort Spektralsatz ^^
* größergleich 17., müsste doch falsch sein, denn wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat ist zwar die algebraische Vfh jedes einzelnen Eigenwerts=1, aber die geometrische Vfh muss noch nicht gleich der algebraischen Vfh sein.
Habe allerdings kein Gegenbeispiel
edit:
ist richtig, denn die geometrische Vfh muss größer 1, aber kleiner der algebraischen Vfh sein, also in diesem Fall gleich 1 und, damit stimmt sie für jeden EW mit der alg. Vfh überein -> Eigenbasis
Ansonsten vollkommen richtig. Die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums, da du n verschiedene Eigenwerte hast, deren zugehörige Eigenvektoren alle untereinander linear unabhängig sein müssen, hast du n Stück Vektoren, welche dir deinen ganzen Vektorraum aufspannen. Der Grad des Charakteristischen Polynoms ist n, jeder der n Eigenwerte ist davon Nullstelle, also muss die algebraische Vielfachheit für jeden auch 1 sein.
Mein Fehler, ich hatte n verschiedene Eigenwerte im Hinterkopf. Im allgemeinen Fall ist die Antwort sowieso "falsch".8.,
wieso sind denn die Eigenräume 1-dimensional? Wenn es mehrere l.u. EV zu einem EW gibt, dann müsste dieser doch die lineare Hülle aller EV sein und damit doch nicht eindimensional, oder?
- JakobM
- Beiträge: 195
- Registriert: 22.10.2012, 22:40
Re: Einige Fragen
Danke erstmal für deine weitere Antwort.
4., Richtete sich auch eher an Menschen die vlt schon Erfahrung mit dieser Prüfung haben und vlt etwas dazu sagen können.
6., War einfach nur als Stichwort gemeint und dass ich mir den eben noch anseh ^^
Glaub allerdings nicht, dass der im Skriptum aufgeführt ist..
edit:
Ist natürlich vorgekommen!
Allerdings nicht unter diesem Namen sondern einfach unter: Kriterien für Diagonalisierbarkeit
7. natürlich größer gleich sonst macht das wenig Sinn :'D
Lg
4., Richtete sich auch eher an Menschen die vlt schon Erfahrung mit dieser Prüfung haben und vlt etwas dazu sagen können.
6., War einfach nur als Stichwort gemeint und dass ich mir den eben noch anseh ^^
Glaub allerdings nicht, dass der im Skriptum aufgeführt ist..
edit:
Ist natürlich vorgekommen!
Allerdings nicht unter diesem Namen sondern einfach unter: Kriterien für Diagonalisierbarkeit
7. natürlich größer gleich sonst macht das wenig Sinn :'D
Lg