Basis von Bild u Kern - HILFE!

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anonym
Beiträge: 20
Registriert: 14.01.2014, 08:49

Basis von Bild u Kern - HILFE!

Beitrag von anonym »

Hallo,
ich hab ein Problem beim lernen für Lin Alg.

Kann mir wer erklären was jetzt genau der Unterschied ist zwischen dem Kern und der Basis des Kerns ist. und das gleich bei dem Bild und die Basis des Bildes?

Angenommen wir haben das BSP: Ax=b

Die Matrix A ist (sorry, keine Ahnung wie man da schön ne Matrix macht:
..2....2..-1....0..-1
-1..-1....3..-3....1
..1....1..-2....0..-1
..0....0....1....1....1

und b ist (0 0 -3 3)^T


Dann bring ich (AIb) auf Stufenform und kann den Rang ablesen.

Da bin ich bei diesem Bsp auf Rang(A)=Rang(AIb) gekommen.
Rang (A)=dimB(A)=3 -> dimKern(A)=2


gut und dann komm ich durch lösen des Gleichungssystems auf x= (0 -1 0 1 2)+ s*(0 1 1 0 -1)+t*(1 -1 0 0 0)

jetzt beginnt mein Problem:

man soll nun die Basis vom Kern und vom Bild angeben.

Der Kern ist doch: Kern(A)=L {(0 1 1 0 -1), (1 -1 0 0 0)} oder?
aber was ist dann die Basis davon?

und beim Bild das Gleiche: dadurch dass wir dimB(A)=3 haben muss das Bild aus 3 l.u. Spaltenvektoren von A sein?
B(A)=L {(2 -1 1 0), (-1 2 -2 1), (0 -3 0 1)}
aber was ist dann die Basis davon? oder wenn das die Basis ist, was ist dann nur B(A)?

Vielleicht mag euch die Frage total bescheuert vorkommen, aber ich verzweifle gerade.

Wäre euch sehr dankbar um antworten!!

123asdf
Beiträge: 138
Registriert: 05.09.2013, 12:15

Re: Basis von Bild u Kern - HILFE!

Beitrag von 123asdf »

Hey, also ich übernehme keine Gewähr, aber ich hab das so verstanden:

Der Rang einer Matrix ist bspw. 3. So dh, das Bild dieser Matrix hat dim = 3. Jetzt brauchst du, wie du schon sagtest, 3 linear unabhängige Vektoren aus der Matrix A.
Diese Vektoren spannen jetzt das Bild auf, dh sie sind Basis des Bildes. Das Bild ist dann einfach die lineare Hülle, also jede erdenkliche Linearkombination der 3 Basisvektoren.

Beim Kern läuft das genauso.

Kern und Bild sind immer entweder der ganze Raum, Geraden, Ebenen, Hyperbenen oder was man sich noch so für lustige Begriffe einfallen lassen kann, und wie du vl weißt sieht die Parameterdarstellung, zB. einer Ebene so aus:
X=s*v1 + t*v2. (So wie in deinem Beispiel der Kern) - dabei sind v1 und v2 die Basisvektoren dieser Ebene, die der Kern ist.

Falls ich blödsinn rede, bitte aufklären ;)

anonym
Beiträge: 20
Registriert: 14.01.2014, 08:49

Re: Basis von Bild u Kern - HILFE!

Beitrag von anonym »

Also erstmal danke für deine Antwort! :)

also ich versuch das jetzt nochmal so einfach wie möglich (komm mir schon so dämlich vor..) :roll: #-o
bitte sofort sagen wenn ichs falsch verstanden hab:

wenn ich die Basis von Kern oder Bild angeben will, dann schreibe ich einfach die nötigen Vektoren ohne Linearer Hülle (also Ohne dem L vor der Mengenklammer, sprich:
Basis Kern(A)={v1, v2}
Basis B(A)={a1, a2, a3}

und Wenn ich Bild und Kern angeben will dann mit L, weil die Lineare Hülle den Kern/Bild aufspannt.
Kern(A)=L{v1, v2}
B(A)=L{a1, a2, a3}

war das so gemeint?

123asdf
Beiträge: 138
Registriert: 05.09.2013, 12:15

Re: Basis von Bild u Kern - HILFE!

Beitrag von 123asdf »

mMn schon, allerdings schätze ich nicht, dass das so streng gehandhabt wird. Ist ja im Grunde dasselbe :-)

anonym
Beiträge: 20
Registriert: 14.01.2014, 08:49

Re: Basis von Bild u Kern - HILFE!

Beitrag von anonym »

Ok danke! :D

ja ich hoffe auch, aber es hat mich dennoch ziemlich verwirrt bei den Angaben der Prüfungssammlung.

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