Cauchyprodukt

rastaman · Beitrag von **rastaman** » 12.11.2007, 20:48

Hi kann leider überhaupt nix mit der Erklärung im Skriptum anfangen.
Sieht aus wie Hieroglyphen.

Summe von der Summe bla bla

keine Ahnung

Kann mir das wer erklären, vielleicht gleich speziell am Beispiel 5.3.1 im Übungsskriptum. Aber bitte leicht verständlich erklären.

Danke

Beitrag von **pat** » 12.11.2007, 21:11

Damit nicht immer alle 1,3MB runterladen müssen:

Beispiel 5.3.1
Gegen sind $\sum ^{\infty}_{n=0} q_1^n$ und $\sum ^{\infty}_{n=0} q_2^n$ mit $\left| q_1 \right| \lt 1, \left| q_2 \right| \lt 1, q_1 \neq q_2$ . Bilden Sie die Cauchysche Produktreihe und berechnen Sie deren Summe.

Muss zu meiner Schande leider zugeben, dass ich die Lösung selbst nicht weiß.

Würde einfach gemäß der Formel im Skriptum schreiben

$\sum ^{\infty}_{n=0} q_1^n \sum ^{\infty}_{m=0} q_2^m = \sum ^{\infty}_{k=0} \sum ^{k}_{l=0} q_1^{k-l} q_2^l$

themel · Beitrag von **themel** » 12.11.2007, 21:32

Ich hab' Produktreihen auch mal irgendwann für schwarze Magie gehalten, ich find's aber mittlerweile recht einleuchtend. Das Beispiel, das mir schließlich die Augen geöffnet hat, war die Auswertung der Taylorreihen von $e^xe^y=e^{x+y}$ .

Du hast $e^x = \sum_n \frac {x^n}{n!}$ , daher also $e^{x+y}=\sum_n \frac{(x+y)^n}{n!}=\sum_i \frac {x^i}{i!}\sum_j \frac {x^j}{j!}$

An und für sich erst mal unoffensichtlich, dass die eine Summe und das Produkt der anderen beiden Summen das Gleiche sind, aber wenn man sich die allgemeine Schreibweise von $(x+y)^n=\sum_k \left( \begin{array}n\\k\end{array}\right)x^ky^{n-k}$ mit $\left(\begin{array}n\\k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ , dann sieht man, dass das genau die Definition der Cauchysumme ist. Im Prinzip ist das euer Beispiel 5.3.2. Das ist natürlich kein Beweis von gar nichts, aber an dem Beispiel ist relativ anschaulich klar, wozu man das brauchen kann.

Das Beispiel 5.3.1 Die Produktreihe schreibt man IMO einfach laut Definition an, also $\sum_n\sum_{k=0}^n q_1^n q_2^{n-k}$ , das wird nicht einfacher. Die Summe ist einfach das Produkt der Summen der beiden geometrischen Reihen (das ist ja der Sinn einer Produktreihe), $\frac 1 {(1-q_1)(1-q_2)}$ .