Wahr oder Falsch

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Wenn Du Lösungsansätze zu Beispielen suchst oder schreibst, stelle nach Möglichkeit auch die dazugehörenden Angaben zur Verfügung - am besten als Dateianhang, da die meisten Übungsangaben auf Institutshomepages nach einem Semester gelöscht werden.
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Hofi
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Registriert: 07.11.2010, 11:23

Wahr oder Falsch

Beitrag von Hofi »

Hallo Leute, da morgen ja schon wieder die nächste Prüfung ansteht wollte ich einen Sammeltread für Wahr/Falsch-Fragen aufmachen.
Für meine Antworten gebe ich keine Gewähr, da ich oft selbst nicht sicher bin ob diese stimmen. Aber vielleicht geht es sich ja mit eurer Hilfe aus das wir uns der Wharheit immer mehr annähern. Hier also die ersten Beispiele (Werde noch oftmals neue HIER in diesem Post stellen über den heutigen Tag verteilt) . Über eure Antworten würde ich mich sehr freuen :)
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1) Hessematrix an einem stationären Punkt. f: IR³->IR, also (x,y,z) €IR³ I-> (ax+by+z) €IR
Falls Spur (H) ungleich null, dann liegen Extrema vor?

(1.a) Spur(H)=Summe der Eigenwerte von H, det(H)=Produkt der Eigenwerte von H. Da jedoch f vom IR³ abbildet ist H€ IR^(3x3). Summe ist also Null, wenn ein Eigenwert oder zwei Eigenwerte zusammen den dritten ergeben. Das Produkt ist also entweder negativ, oder positiv. Extrema gibt es an stationären Punkten aber nur für eine positive Determinante. => Falsch.
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2) F:IR^n -> IR^m ist eine lineare Abbildung mit F(x)=A*x, ; A € R^(mxn), x€IR^n. g:IR^m -> IR ist ein stetig differenzierbares Skalarfeld. Dann gilt:
grad (g(F(x)))=grad g * (A^T*x).

(2.a): Zwar wären die Bedingungen für die Kettenregel erfüllt, und sie hätte wahrscheinlich auch diese Form, aber solange A^T € R^(nxm) kann es nicht mit x multipliziert werden. Das würde sich von den Dimensionen nicht ausgehen.=> Falsch???.
Hier bin ich mir echt nicht sicher. Mein Bauchgefühl sagt mir es sollte richtig sein....
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3) f(z) ist an der Stelle z0 eine komplex differenzierbare Funktion. Dann ist auch g(z):=If(z)I² an z0 komplex differenzierbar?

(3.a) f(z)=u+i*v; Cr.DGL.: du/dx=dv/dy & ... . If(z)I²= u²+v²= g(z); Re(g(z))=u²+v²; Im(g(z))=0
(3.b) Die Cr.DGL. könnte man jedoch auch schreiben als d/dx (Re(z*)) = d/dy (Im(z*)) & d/dy (Re(z*)) = - d/dx (Im(z*))
(3.c) Vertauscht man nun die Variablen: In g(z) ist x=y, y=v, so sollte 2u=0 sein, und 2v auch Null. Somit wäre nur f(z)=0 eine Lösung. => Falsch.
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4) Es sei das Gebiet B eine Teilmenge des Körpers über die komplexen Zahlen. f ist eine komplex diff. Funktion auf der abgeschlossenen Menge B. Dann sin die Werte von f(z) im Inneren von B durch die Werte von f am Rand von B eindeutig festgelegt.

(4.a) Entspricht gerade der Aussage des Cauchy´schen Integralsatzes =>Wahr.
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5) Jede lineare Abbildung f:IR^n -> IR ist Lipschitzstetig. Falls ja, kleinstmögliche Lipschitz Konstante?
(5.a) Jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen ist stetig. Linear+stetig => beschränkt => Lipschitz-Stetig.
(5.b) Mit der Definition der Matrix/-Abbildungsnorm: II Ax II = IIAII * IIxII => IIAII ist die bestmögliche Lipschitzkonstante. =>Wahr.
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6) Jede komplexe funktion der Gestalt P(z)=f(z)=f(x+iy)=p(x)+i*p(y) (mit p... beliebigen Polynomen mit reellen Koeffizienten) ist in ganz C komplex differenzierbar.
(6.a) Cr.DGL.: u=p(x), v=p(y); ux=vy und uy=-vx=0; daher in ganz C. =>Wahr.
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7) Sei A€IR^(nxn), b€IR^n, c € IR beliebig. Betrachte die Funktion F:IR^n -> IR ist f(x)=f(x1,...,xn)=(Ax)*x+b*x+c.
Dann haben alle Punkte x€IR^n den gleichen Typ (elliptisch, hyperbolisch oder parabolisch).
(7.a) Da die Hessematrix sowas wie die zweifache Ableitung ist, ist die Hessematrix gleich der Matrix A in jenem Beispiel und somit unabhängig von x.
Daher haben alle Punkte den gleichen Typ, weil die Punkte nichts an der Hessematrix ändern. =>Wahr.
(Kann auch vorkommen als die Hessematrix eines Skalarfeldes f(x)=... ist unabhängig von x. Ist genau das gleiche, anders formuliert.)
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8 ) Durch die Funktionenreihe: Summe von cos(kx) ; k=0 bis inf. ist eine Funktion Funktion aus L²(-pi,pi) definiert.
(8.a) cos(kx)=Re{e^(ixk)}=Re{exp(ix)^k}
(8.b) Es kann die geometrische Reihe angewendet werden! Re{Summe ([e^(ix]^k)) von k=0 bis inf.} ist gleich 1/1-cos(x), falls der Icos(x)I<1 ist, sonst inf.
Die Reihe ist also entweder beschränkt, oder auch nicht wenn cos (x)=1.
(8.c) Ein Koeffizientenvergleich mit der Fourierreihe liefert: a0=2 und ak=1, somit wäre theoretische eine Fourierdarstellung möglich.
(8.d) Jedes f€ L²(-pi,pi) lässt sich als Fourierreihe darstellen. (lt. Ana-Buch) Gilt also auch umgekehrt das jede Fourrierreihe im L²(-pi,pi) liegt? =>schwaches Wahr (Falls uns die Unbeschränktheit nicht stört.).
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9) Jedes Funktion f € L²(a,b) kann man in eindeutiger Weise mit einer Zahlenfolge im Raum l² der quadratisch summierbaren Folgen identifizieren. erklären Sie das so konkret wie möglich.
(9.a) Mit Zahlenfolge ist die Fourierdarstellung gemeint. Fourierdarstellung also erklären. Vielleicht auch Satz von Picard dazu, Konvergenzkriterien für punktweise, gleichmäßige Konvergenz..
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Zuletzt geändert von Hofi am 11.10.2013, 01:58, insgesamt 9-mal geändert.

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Hofi
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Wie würdet ihr das lösen?

Beitrag von Hofi »

Hallo leute, wie würdet ihr das folgende Beispiel lösen:

1) H ist ein Hilbertraum über IR, a €IR, h€H und fest gewählt. Dann ist durch phi(u)=a*<h,u> für alle u€H ein stetiges, lineares Funktional auf H definiert.
Mein Ansatz wäre: Linearität mittels der Regeln für das innere Produkt. Beschränktheit mittels Dreiecksungleichung, wobei ich da nicht weiß wie ich diese hinschreiben sollte.
Wäre es nun linear und beschränkt, dann ist es auch stetig und somit WAHR. Wie würdet ihr dies explizit durchführen?

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