Laurent Reihe

[Shaldon]

Hallo allerseits!
Kann mir irgendjemand ein Kochrezept verraten, wie ich eine Laurent-Reihe aufstelle bzw. dabei die Residuen berechne?

Danke

[Dark Shaman 667]

Schauen wir einmal ... die Laurentreihe ist eine allgemeine Taylorreihe, welche positive und negative Potenzen beinhaltet. Alle Glieder mit Potenzen größergleich 0 heißen Taylor-Anteile, die anderen (mit negativen Potenzen) Haupt-Anteile.
Im Grunde sucht man immer nach Polstellen z_0 der Funktion f, die ich dann in folgender Weise darstellen kann:
f(z)=SUMME(-unendlich bis -1) c_n*(z-z_0)^n+SUMME(0 bis unendlich) c_n*(z-z_0)^n
Die Beispiele aus dem Skript und einigen Test lassen sich immer mithilfe der Partialbruchzerlegung auseinander nehmen. Dann kann man die einzelnen Stücke in geometrischen Reihen entwickeln.
Bis jetzt bin ich selber auf kein Kochrezept gekommen, aber wenn wer intelligenter ist als ich, und Mathe kann, bitte hier antworten!

[Dark Shaman 667]

Aber für Residuen kann ich ein Kochrezept geben!
Polstellen der Funktion suchen (Nenner der Funktion =0 auswerten) und jede einzelne Polstelle durch die Formel aus Satz 3.19 jagen.
Formel: 1/(m-1)! lim(z->z_0) d^(m-1)/dz^(m-1) ((z-z_0)^m (f(z)))
primitives Beispiel: f(z)= cos(z)/z^3
Hier habe ich eine Polstelle an z=0. Diese hat die Ordnung 3. =>
=> 1/(3-1)! lim(z->0) d^(3-1)/dz^(3-1) ((z-0)^3 (cos(z)/(z^3)))
=> 1/2! lim(z->0) d^2/dz^2 (cos(z))
=> 1/2 lim(z->0) (-cos(z))
=> 1/2 (-1)
=> -1/2

(Mei, das ist hässlich ... schreib am besten selber auf, dann kann man das auch nachvollziehen)