Ana II Prüfung am 27.6.08 bei Prof. Schranz-Kirlinger

Malahidael · Beitrag von **Malahidael** » 29.06.2008, 12:20

So, dann stell ich mal die Prüfungsfragen rein, damit andere, ein bisschen üben können

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Bsp. 1.1) Berechnen Sie

$\frac{1}{2i\pi}\oint_C \frac{cos(\pi z)}{z^2-1} \,\mbox{d}z$

Wobei die Kurve C ein Rechteck mit den Eckpunkten $\pm$ i und 2 $\pm$ i ist.

Bsp. 1.2) Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy'schen Residuensatzes

$\oint_C \frac{e^zt}{z^2+1} \,\mbox{d}z = 2\pi i sint$

Für $C = C_2 (0) = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 2\}$

Bsp. 1.3) Berechnen Sie

$\oint_C \frac{cos^2(z)}{(z-\frac{\pi}{6})^3} \,\mbox{d}z$

Für $C = C_1 (0) = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}$

Bsp. 2.1) Berechnen Sie alle stationären Punkte der Funktion

$\varphi (x,y) = (x^2 - y^2)e^{-(x^2 + y^2)}$

unter der Nebenbedingung $x^2 + y^2 = 1$ mit Hilfe der Methode von Lagrange. Bestimmen Sie, ob Maxima, Minima oder Sattelpunkte vorliegen.

Bs. 2.2) (i) Berechnen Sie die Taylorentwicklung der Funktion $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$

$f(x,y) = (x+y)e^{-(x^2 + y^2)}$

an der Stelle (0,0) bis zum quadratischen Glied, dh. die Terme $T_1 (x,y)$ und $T_2 (x,y)$ in der Darstellung

$f(x,y) = T_1 (x,y) + T_2 (x,y) + o(||(x,y)^2||)$

(ii) Geben Sie diejenigen Richtungsvektoren $v= (x,y) (||v||_2 =1$ an, bezüglich derer die Richtungsableitung von f an der Stelle (0,0) den wert 0 annimmt.

Bsp.: 3) Bestimmen Sie die trigonometrische Fourierreihe der $2\pi$ - periodischen Funktion:

$f(x)= |sinx|$

Hinweis: (Zweimal) Partielle Integration

Bsp. 4.1) Was ist eine ganze Funktion? Wie lautet der Satz von Liouville? Gilt diese Aussage auch für reelle Funktionen? (Begründung)

Bsp. 4.2) Was versteht man unter einem Hilbertraum? Geben Sie ein Beispiel für einen unendlichdimensionalen Hilbertraum an.

Bsp. 4.3) Sei $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen. Unter welcher Bedingung lässt sich eine Gleichung $f(x) = f(x_1,x_2) = 0$ in einer Umgebung einer Nullstelle $\bar{x}$ von f nach mindestens einer der Variablen $x_i , i=1,2$ auflösen, und was bedeutet 'Auflösen' überhaupt?

Bsp. 4.4) Was versteht man unter (i) einer wesentlichen Singularität (ii) einer hebbaren Singularität einer komplexen Funktion?

Bsp. 4.5) Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe: $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{2n+1}}{2^n - 1}z^n$

Bsp. 5.1) Was ist ein Banachraum? Geben Sie ein Besipiel für einen unendlichdimensionalen Banachraum.

Bsp. 5.2) Wie lautet die Cauchy'sche Integralformel?

Bsp. 5.3) Was bedeutet Differenzierbarkeit einer komplexen Funktion $f(z)$ an der Stelle $z_0$

Bsp. 5.4) Definieren Sie die Begriffe (i) Jacobi-Matrix und (ii) Hesse-Matrix.

Bsp. 5.5) Was ist ein lineares Funktional?? Wann heißt ein lineares Funktional beschränkt? Was folgt aus dieser Beschränktheit?

So, das war die Prüfung. Ich hoffe das hilft dem/der Einen, oder Anderen bei der Vorbereitung für kommende Prüfungen

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Physiker · Beitrag von **Physiker** » 30.06.2008, 12:32

Danke

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