Demtröder II - Gleichungen Nachvollziehen

Natty_Dread · Beitrag von **Natty_Dread** » 14.02.2013, 14:54

Hey Leute!

Ich glaube wir sind alle schon Mal an der einen oder anderen Gleichung im Demtröder verzweifelt. Wenn der Ursprung einer Identität mit "man sieht sofort" oder "aus (x.y) folgt unmittelbar" erklärt wird, ist oft eine A4 Seite mühseligen Rechnens notwendig um diesen Schritt nachvollziehen zu können.

Daher dachte ich, ein Thread in welchem ForumsteilnehmerInnen den Ursprung scheinbar vom Himmel gefallener Ausdrücke erfragen können würde allen beteiligten (und auch zukünftigen Generationen) das Leben erleichtern.

Natty_Dread · Beitrag von **Natty_Dread** » 14.02.2013, 15:16

Um gleich Mal den Anfang zu machen:

Demtröder II (5.Auflage) Seite 14:

1.4.1 Der elektrische Dipol

Wie man zu (1.21) kommt verstehe ich noch. Es soll dann der Ausdruck 1/|R+d/2| Taylor entwickelt werden.

Dafür wird $\frac{1}{|R-\frac{d}{2}|} = \frac{1}{R}*\frac{1}{sqrt(1+\frac{R*d}{R^2}+\frac{d^2}{(4*R^2)})}$
umgewandelt.

Wie eine Taylorentwicklung dieses Ausdrucks um $R=0$ herum zu $\frac{1}{R}*(1-\frac{1}{2} *\frac{ R*d}{R^2}+...)$
werden soll ist mir jedoch ein Rätsel.
Wenn ich die Wurzel ableite, wird mir doch immer eine Wurzel bleiben oder nicht? Wohin verschwindet sie also?

(LaTex Frage nebenbei: wie kann ich Vektorpfeile erstellen?)

Danke!

bananenneutrino · Beitrag von **bananenneutrino** » 14.02.2013, 16:29

Nun, es ist auch keine Taylorreihenentwicklung um die 0. Aber eins nach dem anderen:

Eine Taylorreihe ist immer eine reine Potenzreihe. Der Zweck ist immer Approximation über Polynome, welche gut auswertbar und manipulierbar sind.

Du erinnerst dich, für eine $C^{\infty}$ Funktion $f$ ist die Taylorreihe an der Stelle $y$

$\begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(y)}{n!} (x-y)^n \end{equation}$

was ein reines Polynom in der Variable $(x-y)$ ist, also der Differenz von $x$ zum Entwicklungspunkt $y$ .]
In den auftretenden Ableitungen in der Reihe wird immer der Funktionswert ausgewertet, es bleibt nie eine Funktion, sondern immer eine Konstante übrig. (Sonst könnte man nicht von einem Polynom sprechen.)
Deswegen darfst du in deiner Taylorreihe auch keine Wurzel von R mehr sehen.

Was der Demtröder hier gemacht hat, ist keine Entwicklung von R um die Null (das ist ein Fehler), sondern er hat z=1/R substituiert, für z um die Null entwickelt und dann rückeingesetzt. So etwas nennt man Entwicklung um +unendlich.
Die genaue Lösung kannst du hier sehen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... 4x^2%29%29
unter dem Punkt "Series Expansion at infinity".
Oder hier, für z = 1/x, bei Series Expansion at 0.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... %2F4z^2%29

Was auch zu bemerken ist, ist dass die Approximation nur funktioniert, wenn x nicht in der Nähe von -(d/2) liegt. Genau dort ist die Funktion nicht differenzierbar, womit die Taylorreihenentwicklung fehlschlägt.

EDIT: Die Hyperlinks einfach copypasten... weiß ned, warum er hier spinnt.

(LaTex Frage nebenbei: wie kann ich Vektorpfeile erstellen?)

\vec{v} sollte funktionieren. Sieht aber imo nicht sehr schön aus.

Natty_Dread · Beitrag von **Natty_Dread** » 14.02.2013, 18:03

Danke, das, war sehr hilfreich!

Nussbaum · Beitrag von **Nussbaum** » 14.02.2013, 18:11

Hey,

ich hätte auch eine Frage:

auf Seite 67 Gleichung (2.31)

$dN=\gamma\cdot N dx$ soll integriert werden um auf $N_1=N_0\cdot exp(\gamma d)$ zu kommen.

Da aber weder $\gamma$ noch $N$ von $x$ abhängen, sollte das doch einfach
$N=\gamma\cdot N_0\cdot x$ sein.

Wie kommt die Exponentialfunktion da rein?

Danke!

claus · Beitrag von **claus** » 14.02.2013, 18:36

Nussbaum hat geschrieben:Hey,

ich hätte auch eine Frage:

auf Seite 67 Gleichung (2.31)

$dN=\gamma\cdot N dx$ soll integriert werden um auf $N_1=N_0\cdot exp(\gamma d)$ zu kommen.

Da aber weder $\gamma$ noch $N$ von $x$ abhängen, sollte das doch einfach
$N=\gamma\cdot N_0\cdot x$ sein.

Wie kommt die Exponentialfunktion da rein?

Danke!

Wenn das N nicht von t abhängen würde dann wäre dN = 0

bananenneutrino · Beitrag von **bananenneutrino** » 14.02.2013, 19:11

Nussbaum hat geschrieben:Hey,

ich hätte auch eine Frage:

auf Seite 67 Gleichung (2.31)

$dN=\gamma\cdot N dx$ soll integriert werden um auf $N_1=N_0\cdot exp(\gamma d)$ zu kommen.

Da aber weder $\gamma$ noch $N$ von $x$ abhängen, sollte das doch einfach
$N=\gamma\cdot N_0\cdot x$ sein.

Wie kommt die Exponentialfunktion da rein?

Danke!

Nun ich hab den Demtröder nicht bei der Hand, weiß also ned wofür die Formel steht, die Mathematik ist aber simpel:

$N$ ist hier eine Funktion von x, sonst macht das totale Differential keinen Sinn.
Umgeschrieben ergibt das (genauer gesagt folgt das aus der Definition des totalen Differentials... ich "dividier" hier nirgends mit dx)
$\frac{dN}{dx}=\gamma N$
eine typische Differentialgleichung,

welche man auch als
$\begin{equation} \frac{1}{N} \frac{dN}{dx}=\gamma = \frac{d \ln{(N)}}{dx} \end{equation}$
woraus folgt
$\begin{equation} \ln{(N)} = \gamma x + C \end{equation}$
oder
$\begin{equation} N = N_0 e^{\gamma x} \end{equation}$

cake · Beitrag von **cake** » 15.02.2013, 14:50

Hi,
Ich habe eine Frage zu Seite 12

Wie kommt man auf das Potential der Vollkugel?

Das Potential ist ja definiert als $\Phi=\int_r^\infty{\vec E\cdot \mathrm{d} \vec A}$

Aber $\Phi=\int_r^\infty{\frac{Q\cdot r}{4\pi\epsilon_0R^3}\cdot \frac{\vec r}{|\vec r|}\mathrm{d}\vec A}$ wird doch niemals
$\Phi=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R}\cdot(\frac{3}{2}-\frac{r^2}{2R^2})$ ergeben.

Ich freue mich über jede Hilfe!

Natty_Dread · Beitrag von **Natty_Dread** » 18.02.2013, 13:25

Hey Leute, ich hätte noch eine Frage zu der Multipolentwicklung auf Seite 14/15:

wie kommt $\operatorname{grad}(\Phi_D)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\cdot((\vec d\cdot \vec R )\cdot \operatorname{grad}(\frac{1}{R^3})+\frac{1}{R^3}\cdot\operatorname{grad}(\vec d \cdot \vec R))$
zustande?

Ich habe versucht mir diese Beziehung in Indexschreibweise zu überlegen, bin daran jedoch gescheitert.

Stimmt es, dass diese Beziehung so aussehen würde:

$\operatorname{grad}(\Phi_D)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{\partial}{\partial R_j}\frac{d_k R_l}{(R_i R_i)^{\frac{3}{2}}}$

Falls ja, wie komme ich auf die gesuchte Beziehung?

Danke!

bananenneutrino · Beitrag von **bananenneutrino** » 18.02.2013, 18:01

cake hat geschrieben:Hi,
Ich habe eine Frage zu Seite 12

Wie kommt man auf das Potential der Vollkugel?

Das Potential ist ja definiert als $\Phi=\int_r^\infty{\vec E\cdot \mathrm{d} \vec A}$

Aber $\Phi=\int_r^\infty{\frac{Q\cdot r}{4\pi\epsilon_0R^3}\cdot \frac{\vec r}{|\vec r|}\mathrm{d}\vec A}$ wird doch niemals
$\Phi=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R}\cdot(\frac{3}{2}-\frac{r^2}{2R^2})$ ergeben.

Ich freue mich über jede Hilfe!

Zuerst einmal: die Definition vom Potential ist eigentlich $\Phi(P)=\int_P^\infty{\vec E\cdot \mathrm{d} s}$ , beziehungsweise ist die obere Integralsgrenze egal, der Unterschied ist jeweils nur eine additive Konstante.

In dem Fall, dass du das Potential im Inneren der Kugel berechnest, darfst du das Integral nicht einfach bis unendlich laufen lassen (letzendlich ist das E-Feld auf der Aussenseite auch anders als drinnen, ansonste würde das Integral divergieren...)

Also integrierst du so: $\Phi=\int_r^R{\frac{Q\cdot r}{4\pi\epsilon_0R^3}\cdot dr + \int_R^{\infty}{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}\cdot dr = D - \frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\frac{r^2}{2}$ , wobei D eine additive Konstante ist.
Was $\Phi(R)$ ist, erhältst du aufgrund der Stetigkeitsbedingung des Potentials an R. Daraus weißt du, was die Konstante D sein muss.

bananenneutrino · Beitrag von **bananenneutrino** » 18.02.2013, 18:08

Natty_Dread hat geschrieben:Hey Leute, ich hätte noch eine Frage zu der Multipolentwicklung auf Seite 14/15:

wie kommt $\operatorname{grad}(\Phi_D)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\cdot((\vec d\cdot \vec R )\cdot \operatorname{grad}(\frac{1}{R^3})+\frac{1}{R^3}\cdot\operatorname{grad}(\vec d \cdot \vec R))$
zustande?

Ich habe versucht mir diese Beziehung in Indexschreibweise zu überlegen, bin daran jedoch gescheitert.

Stimmt es, dass diese Beziehung so aussehen würde:

$\operatorname{grad}(\Phi_D)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{\partial}{\partial R_j}\frac{d_k R_l}{(R_i R_i)^{\frac{3}{2}}}$

Falls ja, wie komme ich auf die gesuchte Beziehung?

Danke!

Das ist einfach nur mehrdimensionale Produktregel beim Differenzieren.

$\operatorname{grad}(\Phi_D)=\operatorname{grad}(\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\bf{d} \cdot \bf{R}}{R^3})$
Die einzigen Größen die nicht Konstant sind, sind $\bf{d} \cdot \bf{R}$ und $1/R^3$ .
Die mehrdimensionale Produktregel geht hier analog wie beim eindimensionalen Fall. Für die Lösung gilt dann: $\operatorname{grad}(\Phi_D)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot((\vec d\cdot \vec R )\cdot \operatorname{grad}(\frac{1}{R^3})+\frac{1}{R^3}\cdot\operatorname{grad}(\vec d \cdot \vec R))$ (Du hattest ein 1/R^3 zu viel.)

Edit: Tu dir hier die Indexnotation bitte nicht an. (; Ich wills ned nachprüfen, aber du hast sicher einen der Indizes j, ,k oder l vertauscht. Du willst einen Vektor übrig haben, es darf also nur ein Index ungebunden übrigbleiben.

Juergonaut · Beitrag von **Juergonaut** » 19.02.2013, 12:22

Aus den typischen Prüfungsfragen vom Bauer:

24) Bestimmen Sie ausgehend von den Airy Formeln (sie werden angegeben) die Transmission als Funktion von Dj (mit Diagramm).

Was meinen die mit Dj, finde diesen Ausdruck nirgends im Demtröder, ausser dem Diagramm wo zu den Transmissionsspitzen bei $2m\pi$ die Halbwärtsbreite $\epsilon = \frac{4}{\sqrt{F}}$ berechnet wurde.

$Dj = \Delta\varphi$ ?

LG J.

Natty_Dread · Beitrag von **Natty_Dread** » 19.02.2013, 15:22

Juergonaut hat geschrieben:Aus den typischen Prüfungsfragen vom Bauer

Gibt es da eine Prüfungsfragensammlung?

Falls ja, könntest du die vllcht online stellen?

cake · Beitrag von **cake** » 26.02.2013, 16:37

Hi!
Ich hätte eine Frage zu Seite 133/134; Abschaltung der Stromquelle

Wieso ist eine der Anfangsbedingungen $U_0(t=0)=0$ ?

$U_0$ ist doch die Spannung welche die Spannungsquelle in den Stromkreis schickt. Wieso sollte die null werden?

Danke!

Juergonaut · Beitrag von **Juergonaut** » 26.02.2013, 22:52

Weil du zum Zeitpunkt t=0 den Schalter S öffnest, und dadurch die Spannungsquelle $U_0$ nichts mehr beitragen kann. Ab da fließt nur noch Strom, weil die Energie, welche im Magnetfeld gespeichert ist durch einen Strom über den Widerstand $R_1$ in Wärme umgewandelt wird.

forum.technische-physik.at

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