Wellengleichung für Kugelsymmetrie

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Sito
Beiträge: 1
Registriert: 04.03.2017, 20:51

Wellengleichung für Kugelsymmetrie

Beitrag von Sito »

Guten Abend zusammen,

ich hätte da eine kurze Frage zu einer Aufgabe bei der ich nicht so recht weiter weiss...

Im Fall einer skalaren Wellenfunktion, die nur vom Abstand r und nicht von den Winkeln \theta und \varphi abhängt, vereinfacht sich die Wellengleichung zu

\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \xi (r,t)}{\partial t^2}=\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+ \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)\xi (r,t)

Diese Gleichung wird durch den allgemeinen Ansatz \xi(r,t) = A(r)\cdot f(kr \pm \omega t) gelöst. Zeigen Sie, dass für beliebige Funktionen f gilt: A(r) = C/r mit einer Konstanten C.

Um ehrlich zu sein bin ich mir nicht ganz sicher wie man so eine Aufgabe angeht.. Am wahrscheinlichsten erscheint mir hier einfach der Ansatz die entsprechenden Ableitungen von \xi(r,t) zu berechnen und sie dann in die Formel oben einzusetzen. Leider bekomme ich das auch nicht wirklich hin..

Das hier ist mein Zwischenresultat

\displaystyle \frac{ \omega^2}{v^2} A(r)\cdot f''(kr \pm \omega t)= \frac{\partial^2}{\partial r^2}(A(r)) \cdot f(kr\pm\omega t) +2 \cdot \left( \frac{\partial}{\partial r}(A(r)) k \cdot f'(kr\pm \omega t)\right) + A(r) k^2 \cdot f''(kr\pm \omega t) +\frac{2}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r} (A(r)) \cdot f(kr\pm \omega t) + A(r)k \cdot f'(kr\pm \omega t)\right)

Leider weiss ich nicht wirklich weiter… Laut meinem Assistenten in Physik sollte man jetzt einige Terme streichen können (aus physikalischen Gründen) und dann müsste sich eine DGL ergeben.. Leider sehe ich das überhaupt nicht…

Hoffe ihr könnt mir bei dem Problem weiterhelfen..
Gruss Sito

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