Übung am Do, 23.11.06

Beitrag von **pat** » 18.11.2006, 21:59

Angabe
Lösung - Korrekturen:
Sonntag, 19.11.06 00:34 | Beispiele 1, 3, 5 und 6 hochgeladen
Sonntag, 19.11.06 15:55 | Beispiele 2 hochgeladen, Beispiel 5 mit Herleitung versehen
Mittwoch, 22.11.06 23:17 | Beispiel 4 hochgeladen, kleiner Fehler in Bsp. 2 ausgebessert

Also ich hab jetzt schon ein paar Beispiele, frage mich aber, ob ich das Beispiel 5 auch analytisch lösen kann.

Das Integral $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{(x-x_0)^2}{\sigma}}dx$ vereinfacht sich mit $u^2 = \frac{(x-x_0)^2}{\sigma} \rightarrow dx = \sqrt{\sigma}du$ auf $\sqrt{\sigma} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du$ , wobei der Integralausdruck dann zu $\sqrt{\pi}$ wird.

Also, irgendwer eine narrische Substitution auf Lager, mit der das lösbar ist?

ibi · Beitrag von **ibi** » 18.11.2006, 22:15

Das haben wir irgendwann in Ana I gemacht. Steht in vielen Formelsammlungen drin, daß dann Pi rauskommt. Ich denke das reicht, aber ich bin grad beim Substituieren, was etwas heftig wird (Ana II läßt grüßen).

Du hast übrigens die falsche Angabe verlinkt.

Beitrag von **pat** » 18.11.2006, 22:27

Okay, werd ich mir mal ansehen. Aber ich denke, dass dann die genaue Herleitung wurscht sein wird...

Link wurde korrigiert. Diese dumme Copy+Paste Angewohnheit ^^

ibi · Beitrag von **ibi** » 18.11.2006, 22:37

Ja, ich denke auch, daß das wurscht sein wird, aber ich bin grad so schön am Herleiten.

Beitrag von **pat** » 18.11.2006, 22:47

Muss ich beim 6ten Beispiel beim Ergänzen aufs vollständige Quadrat auf $(a+b)^2$ oder $(a-b)^2$ nehmen? Also bei letzterem kommt mir für die Potenz vom e ein falsches Vorzeichen raus. Dürfte also falsch sein. Aber wieso macht das einen Unterschied?

ibi · Beitrag von **ibi** » 18.11.2006, 23:03

Sei $I := \int_{-\infty}^{\infty}~e^{-x^2}~\mathrm{d}x$ .

Dann ist:

$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}~e^{-x^2}~\mathrm{d}x \cdot \int_{-\infty}^{\infty}~e^{-y^2}~\mathrm{d}y$

$= \int_{-\infty}^{\infty}~\int_{-\infty}^{\infty}~e^{-x^2-y^2}~\mathrm{d}x ~\mathrm{d}y$

$= \int_{0}^{2\pi}~ \int_{0}^{\infty}~r \cdot e^{-r^2}~\mathrm{d}r ~\mathrm{d}\phi$

Dabei wurden x und y mit Polarkoordinaten substituiert:

$(x, y) := (r*cos(\phi), r*sin(\phi))$ ,

$dx~dy = \begin{vmatrix} cos(\phi) & -r*sin(\phi)\\ sin(\phi) & r*cos(\phi) \end{vmatrix} dr~ d\phi = r \cdot dr~ d\phi$

Der Rest soll angeblich durch einfache Substitution lösbar sein.

Beitrag von **pat** » 19.11.2006, 00:32

Also das schenk ich mir dann doch lieber...

Beispiele 1, 3, 5 und 6 hab ich mal.
Beispiel 2 hab ich zwar (nach Vorlage) gerechnet, versteh aber noch nicht ganz, wie man auf die Relationen kommt und Beispiel 4 entwickelt sich auch gerade...

Viel Spaß damit!

Gregor · Beitrag von **Gregor** » 19.11.2006, 10:51

Ah, danke, sehr fein! (Satz v. Fubini..)
Genau um so etwas zu sehen hab ich einen Blick in dies wundersam Forum geworfen (-;

Edit: wie, der Rest ist durch einfache Substitution lösbar? Die Stammfunktion vertseckt sich ja gar nicht mehr (-; Oder meinst du Beispiel 6?

ibi · Beitrag von **ibi** » 19.11.2006, 11:32

Gregor hat geschrieben:Edit: wie, der Rest ist durch einfache Substitution lösbar?

Das wüßte ich auch gern. Die obigen Schritte hab ich am Papier nachvollziehen können (Funktionaldeterminante berechnen, $sin^2 + cos^2 = 1$ , integrieren über einen nicht vom Winkel abhängigen Wert, alles kein Problem, aber mit was ich da substituieren soll weiß ich (noch) nicht.

Edit:

Gregor hat geschrieben:Die Stammfunktion vertseckt sich ja gar nicht mehr (-;

Wie ist das zu verstehn?

Gregor · Beitrag von **Gregor** » 19.11.2006, 11:36

Leite einmal $e^{-r^2}$ ab..

ibi · Beitrag von **ibi** » 19.11.2006, 12:27

Gregor hat geschrieben:Leite einmal $e^{-r^2}$ ab..

*argh* stimmt.
Fein, dann kommt $\sqrt{\pi}$ raus und alles ist super.

Beitrag von **pat** » 19.11.2006, 15:57

Gut, hab die Herleitung vom 5er jetzt einmal eingebaut. Jacobimatrix und Funktionaldeterminante - das waren noch Zeiten ^^

Beispiel 2 ist jetzt soweit klar, die Herleitung müsste passen. Allerdings sollte man sich vielleicht die Theorie der Rotverschiebung im Demtröder auf Seite 84ff ansehen...

Beitrag von **pat** » 22.11.2006, 23:16

Sodale, Beispiel 4 auch online

Und in Beispiel 2 wurde die Einheit der Gravitationskonstante korrigiert...

ManuelO · Beitrag von **ManuelO** » 23.11.2006, 00:01

Wieso ist der Betrag von e^(-ikx_0) = 1 ?

Hast du dafür eine verständliche Erklärung?

Zu deinem Bespiel 6:
Du kannst (a+b)^2 nehmen... (oder auch (a-b)^2 ändert halt die Vorzeichen)...
Du hast aber ein falsches Vorzeichen bei b^2 = (sigma^2 k^2)/4 ...
Da gehört vorne ein Minus weil i^2 bekanntlich -1 ist...

mfg Manuel

Lucy · Beitrag von **Lucy** » 23.11.2006, 00:36

Hiho!

also das mit den Vorzeichen in 6 is mir auch irgendwie schwer verwirrend aufgefallen

mhm zu 3b also ich glaub mittlerweile wieder das es über c1/c2=l1/l2 geht.....
weil über l1=h/mv1 und so machts gar keinen sinn...

oder kann mir wer den sinn erklären?

weil n1 is ja als c/c1 gegeben .... aber wenn ich für c1 jetzt v1 verwend dann find ich passt das gar nicht mehr zusammen weil wie argumentier ich dann das c?

wie wärs mit folgendem:
bei elmag wellen gilt für n der zusammenhang c1/c2=l1/l2 und daher... nehm ich den auch hier weil ich ja so tu als wären meine elektronen wellen und deswegen wird das schon gehen...?

mhm versteht eigentlich irgendwer was ich sagen will? *sniff* *mich nit ausdrücken kann*

trotzdem für hilfreiche hinweise dankbar bin

lg L

forum.technische-physik.at

Übung am Do, 23.11.06

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