4. Übung am 8.11.2013

[hoga]

wie immer

[gotthold]

Vorerst mal nur den „theoretischen“ Teil vom dritten Beispiel. Ich hoffe, ich habe mich bei den Indizes nicht verschrieben.
Einfachere Lösungen gibt es wahrscheinlich reichlich.

Edit: Mir ist gerade aufgefallen, dass man bei manchen Umformungen auch die Identität aus Beispiel 4.2 (c) verwenden kann:

[gotthold]

Multiple Choice Fragen komplett. Ich habe mich bemüht, wirklich alles verständlich zu machen.

[OffBeat]

Ich hab bei 1.f) beim Integral wo der Normalenvektor schräg steht, versucht diesen zu normieren (soweit ich mich erinnern kann haben wir den immer normiert) und dann das Integral auszurechnen.
Komme dabei aber auf ein anderes Ergebnis. Warum muss der Vektor genau so aussehen: (0,5;1;1)? Dieser hat ja nicht die Länge 1?

[Morrbeg]

@OffBeat
Ich hab bei 1)f) den Vektor schon normiert, aber man muss noch zusätzlich berücksichtigen, dass das differentielle Flächenelement verzerrt wird, da es sich ja auf der schrägen Ebene befindet;
Ich hab über x und y integriert (die anderen Kombinationen wären natürlich auch möglich), das differentielle Flächenelement ist dann dx*dy/cos(alpha) , wobei alpha der Winkel ist, der von der schrägen Ebene und der x-y Ebene eingeschlossen wird.

[gotthold]

Ich hab bei 1.f) beim Integral wo der Normalenvektor schräg steht, versucht diesen zu normieren (soweit ich mich erinnern kann haben wir den immer normiert) und dann das Integral auszurechnen.
Komme dabei aber auf ein anderes Ergebnis. Warum muss der Vektor genau so aussehen: (0,5;1;1)? Dieser hat ja nicht die Länge 1?

Das Ganze ist eigentlich analog zu den Beispielen aus den letzten zwei Übungen (dort in zwei Dimensionen).
Die Normierung des Normalenvektors „kürzt“ sich gerade mit dem Skalierungsfaktor des (skalaren) Flächenelements.

Allgemein gilt (Notation wie in PMII):



Mit

[gotthold]

Zweites Beispiel komplett. Als Zusatz habe ich noch gezeigt, was man sich unter dem Levi-Civita-Symbol vorstellen kann und wie man damit auf 4.2 (a) kommt.

[Sheldon]

Kann mir jemand vielleicht erklären was eine gerade und ungerade bzw. eigentlich generell eine Permutation ist?

Das hab ich scheinbar in irgendeiner Vorlesung verpasst und durch das Internet werde ich auch nicht wirklich schlauer in Bezug auf die Levi-Civita Symbole...

[e1226227]

Kann mir jemand vielleicht erklären was eine gerade und ungerade bzw. eigentlich generell eine Permutation ist?

Das hab ich scheinbar in irgendeiner Vorlesung verpasst und durch das Internet werde ich auch nicht wirklich schlauer in Bezug auf die Levi-Civita Symbole...

Das ist im LinAlg-Skriptum am Beginn des Determinantenkapitels schön erklärt. Schlag das mal nach, ich hoffe, es hilft.

[hoga]

permutation = zusammenstellung/reihenfolge

123, 231, 312 = gerade, weil von links nach rechts 1, 2 und 3 in der "richtigen reihenfolge" vorkommen
132, 213, 321 = ungerade, weil von rechts nach links ...

nur komm ich genau damit bei 1d) nicht auf 6 kann mir jemand helfen? ^^

[timothe]

@ hoga

sobald ein indiz doppelt vorkommt ist das levi-civita = 0 das heißt du kannst dir nur mehr die anschaun bei denen i,j,k alle verschieden sind
da hast du 3!=6 möglichkeiten. diese können nur +1 oder -1 ergeben und dann hast du immer stehn (+1)*(+1) oder (-1)*(-1) was immer +1 ergibt

[hoga]

@ hoga

sobald ein indiz doppelt vorkommt ist das levi-civita = 0 das heißt du kannst dir nur mehr die anschaun bei denen i,j,k alle verschieden sind
da hast du 3!=6 möglichkeiten. diese können nur +1 oder -1 ergeben und dann hast du immer stehn (+1)*(+1) oder (-1)*(-1) was immer +1 ergibt

vielen dank!

[gotthold]

Kann mir jemand vielleicht erklären was eine gerade und ungerade bzw. eigentlich generell eine Permutation ist?

Eine Permutation von Elementen ist einfach nur eine Umordnung.

Die Begriffe ungerade und gerade kann man sich so vorstellen:
Ist die Anzahl der Vertauschungen, die ich brauche um die identische Permutation zu erhalten, gerade, so heißt die Permutation gerade, ist sie dagegen ungerade, so spricht man von einer ungeraden Permutation. Die identische Permutation ist die ursprüngliche Anordnung. Die identische Permutation ist gerade.

Beispiele:

4-Tupel: (a,b,c,d)
Gerade Permutationen: (b,a,d,c), (c,d,a,b), (d,c,b,a),(c,a,b,d),(d,a,c,b),...
Ungerade Permutationen: (a,b,d,c), (b,a,c,d), (d,a,c,b),...

3-Tupel: (1,2,3)
Gerade Permutationen: (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)
Ungerade Permutationen: (1,3,2), (2,1,3), (3,2,1)

[Sheldon]

Danke für die vielen Antworten, habs jetzt verstanden

[d5ch4vv4]

Erstmal: Danke @Gotthold!
Freut zu sehen, dass sich jemand so viel Mühe gibt um anderen zu helfen

Ich weiss, dass man das was ich jetzt frage im dritten Semester eigentlich schon verstanden haben sollte, aber ich checks immer noch nicht:
In Beispiel 4.1 (f) verstehe ich nicht wie man auf die Integrationsgrenzen kommt. Ich mein, wenn x Werte im Intervall [0,2] annimmt, glaube ich zu verstehen, dass y sich im Intervall 0 <= y <= (1 - x/2) bewegen muss (y nimmt ja Werte im Intervall [0,1] an und ist 1 wenn x=0 und 0 wenn x=2). Aber wie zum &"$%§ komme ich dann auf die Integrationsgrenzen für z?
Würde ich von y ausgehen, hätte ich dann 0 <= y <= 1, 0 <= x <= (2 - 2y), 0 <= z <= (1 - y - x/2) ?!?