8. Übung am 28.11.2014

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 25.11.2014, 16:22

Hier das 2. Beispiel a-c

Kann mir wer bei den anderen ein paar Tipps geben?

FloHech · Beitrag von **FloHech** » 26.11.2014, 16:37

Hallo,
ich hab mir mal die Mühe gemacht und die Beispiele mit dem Residuensatz durchgerechnet und ausführlich in einem LaTeX Dokument erklärt, da ich das Gefühl hab, dass die Erklärung im Skript eher mager ist.

Konstruktive Kritik und Hinweise auf Fehler sind erwünscht (Bitte kein rumgeflame)!

FloHech

FloHech · Beitrag von **FloHech** » 26.11.2014, 23:29

Mir ist bei der Ausarbeitung leider ein riesen Denkfehler untergekommen.

Das Integral wo die Konvergenz der Parametrisierung überprüft wird muss 0 sein, da die Kurve die man quasi um seine Residuen legt keinen Beitrag zum eigentlichen Integral leisten darf.

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 27.11.2014, 14:18

FloHech hat geschrieben:Hallo,
ich hab mir mal die Mühe gemacht und die Beispiele mit dem Residuensatz durchgerechnet und ausführlich in einem LaTeX Dokument erklärt, da ich das Gefühl hab, dass die Erklärung im Skript eher mager ist.

Konstruktive Kritik und Hinweise auf Fehler sind erwünscht (Bitte kein rumgeflame)!

FloHech

Erstmals danke, dass du dir die Arbeit gemacht hast, das hilft unglaublich weiter!!

Bei Gleichung (3) bei den Polstellen ist das Nennerpolynom (z-1)(z^2+2z+2), du hast ein z statt dem 2er geschrieben.

sterlingberger · Beitrag von **sterlingberger** » 27.11.2014, 14:59

Hat zufällig jemand 8.3a) gerechnet? Ich komm da einfach nicht weiter, wär echt nett wenn da jemand eine Lösung hochladen könnte.

LG

Tabasko · Beitrag von **Tabasko** » 27.11.2014, 15:26

Flo, ich denke dass du deswegen bei c) die $3\pi i$ abziehen musst, um auf das richtige Ergebnis zu kommen.

Dann kommt $\pi i$ raus, das ist aufjedenfall eine Antwortmöglichkeit beim Multiple Choice.

Bei d) verschwindet das Integral dann zum Glück eh.

Lauri · Beitrag von **Lauri** » 27.11.2014, 15:29

FloHech hat geschrieben:Mir ist bei der Ausarbeitung leider ein riesen Denkfehler untergekommen.
Das Integral wo die Konvergenz der Parametrisierung überprüft wird muss 0 sein, da die Kurve die man quasi um seine Residuen legt keinen Beitrag zum eigentlichen Integral leisten darf.

Vielen Dank für die Ausarbeitung! Warum dieses Integral 0 ergeben muss (und wie man auf das Ergebnis dann kommt) ist mir noch nicht ganz klar, kannst du vlt versuchen, das nochmal kurz und knackig zu erklären? Danke

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 27.11.2014, 15:55

FloHech hat geschrieben:Hallo,
ich hab mir mal die Mühe gemacht und die Beispiele mit dem Residuensatz durchgerechnet und ausführlich in einem LaTeX Dokument erklärt, da ich das Gefühl hab, dass die Erklärung im Skript eher mager ist.

Konstruktive Kritik und Hinweise auf Fehler sind erwünscht (Bitte kein rumgeflame)!

FloHech

WIe kommst du bei 1.f) auf Res=1 das verstehe ich nicht. Du schreibst du man muss eine Laurentreihe berechnen um auf das Residuum zu kommen, aber nimmst dann eine Taylorreihe und setzt das z Null. Wieso?

FloHech · Beitrag von **FloHech** » 27.11.2014, 15:56

Bin mit der Theorie des Residuensatzes leider selber noch nicht zu 100% vertraut, und halte es für sinnvoller wenn du dir das im Methoden Skript durchliest (S.137 ganz unten).

Eine anschauliche Erklärung wäre folgende:

Dein Integral $\int_{-\infty}^{\infty}f(z)dz$ soll in ein Kurvenintegral übergeführt werden, dass alle Polstellen (in unserem Fall, die die wir betrachten wollen) enthält. Nun ist das Integral auf $[-\infty ,\infty]$ nicht (analytisch) lösbar. Mit Hilfe des Residuensatzes, also durch Addieren einer Kurve, die alle deine Polstellen enthält, wird das uneigentliche Integral in ein Kurvenintegral umgewandelt. Damit der Wert des eigentlichen Integrals nicht verfälscht wird, darf der Rand keinen Beitrag zum ursprünglichen Integral leisten.

Leider habe ich es noch nicht hinbekommen zu zeigen, dass das Integral über den Rand verschwindet. Durch einfaches einsetzen von Poarkoordinaten wird das auch nicht funktionieren, da der grad des Nennerpolynoms um "2" größer sein muss als der des Zählerpolynoms.

Ich hoffe das hilft dir ein bisschen weiter.

FloHech

FloHech · Beitrag von **FloHech** » 27.11.2014, 15:58

sebastian92 hat geschrieben:
FloHech hat geschrieben:Hallo,
ich hab mir mal die Mühe gemacht und die Beispiele mit dem Residuensatz durchgerechnet und ausführlich in einem LaTeX Dokument erklärt, da ich das Gefühl hab, dass die Erklärung im Skript eher mager ist.

Konstruktive Kritik und Hinweise auf Fehler sind erwünscht (Bitte kein rumgeflame)!

FloHech
WIe kommst du bei 1.f) auf Res=1 das verstehe ich nicht. Du schreibst du man muss eine Laurentreihe berechnen um auf das Residuum zu kommen, aber nimmst dann eine Taylorreihe und setzt das z Null. Wieso?

Die Laurentreihe kann meines Wissens nach durch eine Taylorreihe "angenähert" werden. Wieso man bei dem konkreten Fall $e^{\frac{1}{z}}$ eine Taylorreihe verwendet weiß ich leider auch nicht. Die "Idee" dazu hab ich aus dem Vorlesungsskript, da wird das auch so gelöst.

FloHech

FloHech · Beitrag von **FloHech** » 27.11.2014, 16:03

Tabasko hat geschrieben:Flo, ich denke dass du deswegen bei c) die $3\pi i$ abziehen musst, um auf das richtige Ergebnis zu kommen.

Dann kommt $\pi i$ raus, das ist aufjedenfall eine Antwortmöglichkeit beim Multiple Choice.

Bei d) verschwindet das Integral dann zum Glück eh.

Das wäre zumindest eine sinnvolle Erklärung. Hab ich mir auch schon gedacht. Nur ist die Bedingung bei a) und b) ja eigentlich $R>\sqrt{2}$ und nicht $R\rightarrow \infty$ . Womit das Integral nicht verschwindet und wir diese Kurve eigentlich nicht wählen dürfen.

FloHech

Sonboth · Beitrag von **Sonboth** » 27.11.2014, 17:52

Entschuldigung wegen der dummen Frage aber ist c) und d) nicht sowieso 0 weil wir kein Residuum auf der imaginären Achse haben?

FloHech · Beitrag von **FloHech** » 27.11.2014, 18:03

Das hab ich mich auch gefragt. Aber die Forderung von Re(z)=0 habe ich so interpretiert, dass die Realteile einfach 0 gesetzt werden. Womit das Residuum auf die imaginäre Achse geschoben wird. Leider lässt die Angabe ein paar Interpretationen offen, was wirklich gemeint ist werden wir wohl erst morgen erfahren

FloHech

Ps.:Bei 1f) habe ich übrigens vergessen mit $z^2$ zu mutliplizieren. Wenn man die Taylorreihe bis zu n=3 weiterentwickelt und dann mit $z^2$ mutlipliziert, sieht man durch Koeffizientenvergleich, dass das Residuum $\frac{1}{6}$ wird.

Ob man bei c) nun die $3\pi i$ abziehen muss und wieso das Integral der Kurve für a) und b) nicht verschwindet, weiß ich nicht.

Sonboth · Beitrag von **Sonboth** » 27.11.2014, 18:38

Ich kann dir noch sagen wenn man d) mit den ganzen Residuen rechnet also mit z=-1+-i kommt man genauso auf die Lösung für das Integral -2pi*i.

Und bei uns hat es letzte Woche im Tutorium geheißen, wenn das Integral nicht 0 wird kann der Residuensatz nicht angewendet werden.

peter · Beitrag von **peter** » 27.11.2014, 18:57

Danke für die Ausarbeitung!

bei 1f gehört meiner Meinung nach in der Taylorentwicklung $...+1/(2z^2) + 1/(6z^3)+...$
das multipliziert man dann mit $z^2$ zu $z^2+z+1/2+1/6\cdot 1/z+...$

Der Term $c \cdot 1/z$ in der Laurentreihe gibt einem das Residuum, hier $1/6$ . Der Wert des Integrals ist dann, da sich die $2 \pi i$ gegenseitig kürzen $1/6$

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