Schnittkräfte

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sebastian92
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Schnittkräfte

Beitrag von sebastian92 »

Hallo ich hätte da mal eine Frage.

Gibt es eine Regel, wann man bei den Schnittkräften das Moment mittels dem Integral M= \int Q dx löst oder mittels dem normalen Momentengleichgewicht um einen Punkt P \sum M_{(P)}=0 \quad

Da ich des öfteren bei Beispielen auf unterschiedliche Vorzeichen komme, je nachdem welche Methode ich anwende.

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aka
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Re: Schnittkräfte

Beitrag von aka »

Bei den Momenten gibt es leider immer sehr viele Missverständnisse, so wie bei den Schnittkräften allgemein. Diese führen oft auf viele viele Vorzeichenfehler. Grundsätzlich gilt: Gerechnet wird vektoriell! (Oder, wenn man das kann, was nicht VO-Stoff ist: Mit Liniengeometrie mit orientierten Geraden, sog. "Speeren".) Eine an einem starren Körper im Punkt P angreifende Kraft \vec{F} erzeugt für einen Bezugspunkt A ein Moment (um A):
\vec{M}_A = \vec{r}_{AP} \times \vec{F}

(Es stellt sich heraus, dass man den Angriffspunkt P der Kraft bei einem starren Körper beliebig entlang der Wirkungslinie der Kraft verschieben darf.)

Grundsätzlich kann man die Kraft F festhalten und den Punkt Bezugspunkt A variieren lassen - dann bekommt man ein Vektorfeld im gesamten Raum, das für jeden Punkt darstellt, wie groß das Moment der Kraft F bezogen auf diesen Punkt ist. Dieses Vektorfeld ist "äquiprojektiv" (equiprojective, equiprojectif), eine Sichtweise, die vor allem in Frankreich in der Mechanik gelehrt wird, im deutschen Sprachraum leider unüblich ist.

Hat man mehrere Kräfte \vec{F}_i an einem starren Körper angreifend, so können die zugehörigen Momente \vec{M}_{A,i} zu jedem festen Bezugspunkt A superponiert werden, deren Addition gibt das gesamte "resultierende" Moment aller angreifenden Kräfte bzgl. dieses Bezugspunkts. Addiert wird ebenfalls vektoriell!
Hat man eine kontinuierliche Kraftdichteverteilung, so wird aus der diskreten Summe ein kontinuierliches Integral. Immer vektoriell.

Die Komponente einer Kraft oder eines Moments bzl. einer Raumrichtung \vec{e}, wobei \vec{e} ein überall gleicher Einheitsvektor ist, ergibt sich durch das innere Produkt als \vec{e} \bullet \vec{F} bw. \vec{e} \bullet \vec{M}.
Auch das ist reine Vektorrechnung. Vorzeichenfehler dürfen bei der rein vektoriellen Rechnung keine auftreten!

Wo kommen typischerweise Vorzeichenfehler her? Bei Schnittkräften und bei der Rechnung mit rein skalaren Komponenten. Bei Schnittkräften denkt man sich nämlich - je nach Konvention - die Schnittflächen der beiden auseinandergeschnittenen Körperteile unterschiedlich orientiert (zB beide nach außen oder beide nach innen) und trennt so in ein "positives" oder "negatives Ufer" auf. Diese Ufer sollte man stets kennzeichnen!

In Deinen Formeln hast Du nur spezielle Komponenten hingeschrieben, aber nirgendwo erläuerte, auf welches Bezugssystem sie sich beziehen. Du hast also nicht vektoriell gerechnet, sondern mit Komponenten in gewisser Art und Weise - und hierbei offenbar irgendwann das Bezugssystem "umgedreht" und bist damit auf Vorzeichenfehler gekommen.

Rechne das Beispiel zuerst vektoriell durch und überlege Dir noch einmal, wo die Gleichungen, die nur eine einzelne Komponente betreffen, überhaupt herkommen und wie sie mit der echten vektoriellen Rechnung in Zusammenhang stehen.
Die eingezeichneten Schnittkräfte an einem freigeschnittenen Teil sind typischerweise keine "Komponenten" bzgl. "eines" raumfesten kartesischen Bezugssystems: Denn schon für einen Stab der Form
Anfang - Stab - Ende
zeigen bei Anfang und Ende die nach außen gerichtenen Normalenvektoren in entgegengesetzte Richtung, die Ufer wären bzgl. der "Richtung nach rechts" negativ bei Anfang und positiv bei Ende.
Die in einer Skizze eingezeichneten Größen der Schnittkräfte sind dann keine Komponenten bzgl. ein und desselben raumfesten Bezugssystems - man kann sie nicht einfach addiere und wird bei Momenten jede Menge Vorzeichenfehler machen (wenn man sich nicht auskennt).

Wenn Du die Gleichungen hingegen alle vektoriell hinschreibst, muss bei beiden Wegen (über die Querkraft bzw. über die Aufsummierung der Einzelmomente) dasselbe herauskommen. Vorausgesetzt, Du hast denselben Bezugspunkt (!), rechnest vektoriell und berechnest zum Schluss die Komponente bzgl. eines Vektors \vec{e} aus.

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