Tutorium 15.5.2009

Malahidael · Beitrag von **Malahidael** » 10.05.2009, 13:02

Dieses Mal ungewöhnlich früh

. Naja, auf ein Neues.

Lelouch · Beitrag von **Lelouch** » 10.05.2009, 13:49

Bei den Angaben wird mir schon schlecht...
Hab mich mal kurz mit 1 a gespielt und hätte als ergebniss:

$\phi_{2} (r)=2\tau ln(r-r_{0})$

aber keine ahnung ob das so passt oder nicht.

djun · Beitrag von **djun** » 10.05.2009, 21:54

sollen lieber mal den test korrigieren...

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 11.05.2009, 00:37

Bei 1a hab ich die zweite Linienladung bei Entfernung $R_0 r_0 = a^2$ , also $\phi_2 = 2\tau \ln\frac{r_0}{r_B}$ ( $r_B$ ... Bezugspunkt f. Potential). Ich frag mich wie diese allgemeine Lösung aussieht? Im Prinzip alles was $\bigtriangleup \phi = 0$ innerhalb des Leiter erfüllt => d.h. separieren und dann Bessel-Funktionen oder was auch immer da rauskommt als allgemeinste Lösung, dann RB einsetzen ... ?

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 11.05.2009, 20:23

Bsp. 2 steht übrigens im Jackson drin ... unter 3.3, Randwertprobleme mit azimutaler Symmetrie

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 12.05.2009, 00:27

Bsp. 3 ebenfalls im Jackson, unter 4.4 Randwertprobleme bei Anwesenheit von Dielektrika

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 12.05.2009, 13:26

Was mich bei Bsp. 1 wundert: müsste es nicht $\phi_1 = -2\tau\ln R$ mit $R=(x-R_0)^2+y^2$ in der Angabe heißen?

Ich komm bei der Separation $\phi_2 = R(r) Q(\varphi)$ von $\bigtriangleup \phi_2 = 0$ jedenfalls auf $Q(\varphi) = A\sin(k\varphi) + B\cos(k\varphi)$ und $R(r) = \frac{C}{k}r^{-k} + \frac{D}{k}r^k$ . Das kann man (wenn man will) auf die Form aus dem Hinweis umformen und somit zeigen, dass der ln, der zusammen mit der Konstante c die RB erfüllt, aus der allgemeinen Lösung gebildet werden kann. Aber direkt von der allgemeinen Lösung + RB auf die spezielle ln-Lösung bin ich noch nicht gekommen... hat wer einen Tipp?

adbomb21 · Beitrag von **adbomb21** » 12.05.2009, 14:30

Hallo!
Frage zu Bsp 2: Nachdem ich die Orthogonalität und die Formel aus 2a (siehe letzte Übung) ausgenützt habe, kommt mir für die Konstante folgende Lsg
Bl=...*[Pl+1(1)-Pl-1(1)+Pl+1(-1)-2Pl+1(0)+2Pl-1(0)-Pl-1(-1)]
...wobei mich vor allem diese Wurscht von Legendre Polynomen irritiert...kann man die irgendwie sinnvoll zusammenfassen?...bzw. wie berechne ich Pl-1 für l=0, wird dabei die Ableitung zu einer Integration?...Bitte um Hilfe!
Danke andi

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 12.05.2009, 15:24

adbomb21 hat geschrieben:Hallo!
Frage zu Bsp 2: Nachdem ich die Orthogonalität und die Formel aus 2a (siehe letzte Übung) ausgenützt habe, kommt mir für die Konstante folgende Lsg
Bl=...*[Pl+1(1)-Pl-1(1)+Pl+1(-1)-2Pl+1(0)+2Pl-1(0)-Pl-1(-1)]
...wobei mich vor allem diese Wurscht von Legendre Polynomen irritiert...kann man die irgendwie sinnvoll zusammenfassen?...bzw. wie berechne ich Pl-1 für l=0, wird dabei die Ableitung zu einer Integration?...Bitte um Hilfe!
Danke andi

Weiß nicht ob es hilft, aber: $\int\limits_0^1 P_l(x) dx = \int\limits_0^1 \frac{d}{dx}\left[P_{l+1}(x)-P_{l-1}(x)\right]dx = \left.P_{l+1}(x)-P_{l-1}(x)\right|_0^1$ . Lässt sich für l=1 und l=3 dann einfach auswerten, indem du die entsprechenden Polynome einsetzt und führt zu den Faktoren 3/2 und -7/8

Lelouch · Beitrag von **Lelouch** » 12.05.2009, 15:29

rfc822 hat geschrieben:
adbomb21 hat geschrieben:Hallo!
Frage zu Bsp 2: Nachdem ich die Orthogonalität und die Formel aus 2a (siehe letzte Übung) ausgenützt habe, kommt mir für die Konstante folgende Lsg
Bl=...*[Pl+1(1)-Pl-1(1)+Pl+1(-1)-2Pl+1(0)+2Pl-1(0)-Pl-1(-1)]
...wobei mich vor allem diese Wurscht von Legendre Polynomen irritiert...kann man die irgendwie sinnvoll zusammenfassen?...bzw. wie berechne ich Pl-1 für l=0, wird dabei die Ableitung zu einer Integration?...Bitte um Hilfe!
Danke andi
Weiß nicht ob es hilft, aber: $\int\limits_0^1 P_l(x) dx = \int\limits_0^1 \frac{d}{dx}\left[P_{l+1}(x)-P_{l-1}(x)\right]dx = \left.P_{l+1}(x)-P_{l-1}(x)\right|_0^1$ . Lässt sich für l=1 und l=3 dann einfach auswerten, indem du die entsprechenden Polynome einsetzt und führt zu den Faktoren 3/2 und -7/8

du hast da n (2n+1) vorne vergessen, aber genau auf die form hab ichs auch gebracht. Nur das als konkrete form für alle l's (bzw n's) anzuschreiben... haha -_-

Edit: ok es genügen wohl die ersten 4 terme und nix explizites, aber das mit "gerader und ungerader funktion" versteh ich noch nicht wirklich.

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 12.05.2009, 15:39

thx ja das 2l+1 hab ich hier vergessen

Wieso für alle? Da steht "bis zur Ordnung (a/r)^4", also bei mir bis l = 3

Lelouch · Beitrag von **Lelouch** » 12.05.2009, 15:42

Ja du hast recht, hab das überlesen bzw vergessen.

Aber das mit gerader und ungerader funktion versteh ich grad noch nicht.

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 12.05.2009, 15:48

Lelouch hat geschrieben:Aber das mit gerader und ungerader funktion versteh ich grad noch nicht.

Wenn ich das richtig verstanden habe: Die zu entwickelnde Funktion ist
$\phi(\cos\theta) = \begin{cases} -\phi_0~&~\text{wenn}~~-1<\cos\theta<0\\ \phi_0~&~\text{wenn}~~0<\cos\theta<1 \end{cases}$
D.h. eine ungerade Funktion ( $f(-x)=-f(x)$ )

Für die Legendre-Polynome gilt: $P_l(-x) = (-1)^l P_l(x)$
d.h. alle mit (un)geraden l sind (un)gerade

Da eine ungerade Funktion abgebildet werden soll, kann die Entwicklung keine geraden Anteile und damit auch keine geraden l beinhalten

Lelouch · Beitrag von **Lelouch** » 12.05.2009, 23:44

OK danke das hat es geklärt.

Noch eine Frage zum 3ten beispiel zur stetigkeit der normalkomponente an der grenzfläche.
Warum gibt der im Jackson noch ein negatives vorzeichen für die eine seite dazu? Die komponenten sind immerhin gleichgerichtet und nicht gegengleich, daher kann das so doch nicht passen

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 12.05.2009, 23:55

Bei welcher Formel? (Nummer)

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