7. Übung

Grinsekatze · Beitrag von **Grinsekatze** » 15.11.2014, 15:54

Hier die Angabe für Tutorium Nr. 7.

moar_1992 · Beitrag von **moar_1992** » 15.11.2014, 22:45

die Lösungen von 1 und 3 sind im higgs
kann sie leider nicht hochladen...

1 --> 1Bsp aus 4_Tutorium_2012
3 --> 1Bsp aus 5_Tutorium_2012

bergerberni · Beitrag von **bergerberni** » 17.11.2014, 14:38

Beispiel 2:

higgs.at --> 2010 Tutorium 6 Bsp.1

TMF · Beitrag von **TMF** » 17.11.2014, 17:52

ich hätte eine blöde Frage zu 3b) - ich werde aus der Lösung nicht ganz schlau warum man daraus erkennen sollte dass EV von F(A) ungleich EV von A sein sollte.

abc123 · Beitrag von **abc123** » 18.11.2014, 00:04

TMF hat geschrieben:ich hätte eine blöde Frage zu 3b) - ich werde aus der Lösung nicht ganz schlau warum man daraus erkennen sollte dass EV von F(A) ungleich EV von A sein sollte.

Ich bin mal so frech und sage dass die Lösung auf higgs falsch ist

In der Doppelsumme wird die innere Summe nicht über n sondern über irgendeinen anderen Index summiert. Außerdem verschwindet im Induktionsbeweis bereits in der Induktionsvorraussetzung die Summe

mMn sind Eigenvektoren $A|\phi_i > =a_i| \phi_i >$ von A auch Eigenvektoren von F(A), aber zu einem anderen Eigenwert. $F(A) | \phi_i > = \sum_n^{\infty}f_n A^n | \phi_i >=| \phi_i > \underbrace{\left( \sum_n^{\infty}f_n a_i^n \right)}_{Neuer \: Eigenwert \: von \: | \phi_i>} =a'_i | \phi_i >$

PS: Das ist ja cool! Die neuen Eigenwerte ist genau die Funktion F, die auf die alten Eigenwerte wirkt

Damit lässt sich die Spektralzerlegung auch ganz einfach anschrieben als $F(A)=\sum_{i=1}^{N}F(a_i)|\phi_i><\phi_i|$

TMF · Beitrag von **TMF** » 18.11.2014, 09:17

abc123 hat geschrieben:
TMF hat geschrieben:ich hätte eine blöde Frage zu 3b) - ich werde aus der Lösung nicht ganz schlau warum man daraus erkennen sollte dass EV von F(A) ungleich EV von A sein sollte.
Ich bin mal so frech und sage dass die Lösung auf higgs falsch ist In der Doppelsumme wird die innere Summe nicht über n sondern über irgendeinen anderen Index summiert. Außerdem verschwindet im Induktionsbeweis bereits in der Induktionsvorraussetzung die Summe mMn sind Eigenvektoren $A|\phi_i > =a_i| \phi_i >$ von A auch Eigenvektoren von F(A), aber zu einem anderen Eigenwert. $F(A) | \phi_i > = \sum_n^{\infty}f_n A^n | \phi_i >=| \phi_i > \underbrace{\left( \sum_n^{\infty}f_n a_i^n \right)}_{Neuer \: Eigenwert \: von \: | \phi_i>} =a'_i | \phi_i >$

PS: Das ist ja cool! Die neuen Eigenwerte ist genau die Funktion F, die auf die alten Eigenwerte wirkt Damit lässt sich die Spektralzerlegung auch ganz einfach anschrieben als $F(A)=\sum_{i=1}^{N}F(a_i)|\phi_i><\phi_i|$

Danke, genauso hätte ich es ebenfalls gesehen - da es ja schon wegen der Zeitentwicklungsfunktion mit U(t)=e^-iHt/hquer .. so sein muss dass die Vektoren gleich sind und nur die Eigenwerte in die Funktion eingesetzt werden. Womit U(t) zu e^-i En t / hquer wird.

claus · Beitrag von **claus** » 18.11.2014, 12:30

hi

@abc123:

afaik ist der kurze Einschub nur der Beweis um zu zeigen wie die Eigenwerte von $A^n|\psi>$ aussehen.

lg

abc123 · Beitrag von **abc123** » 18.11.2014, 12:56

claus hat geschrieben:hi

@abc123:

afaik ist der kurze Einschub nur der Beweis um zu zeigen wie die Eigenwerte von $A^n|\psi>$ aussehen.

lg

Jaja das habe ich schon verstanden, aber beim Induktionsbeweis wurde im 1. Schritt die Summe vergessen. Denn $A^0=\sum_{i=1}^N a_i^0 | \phi_i >< \phi_i | \: \neq \: | \phi_0> < \phi_0| \: \neq \: 1$ sondern $A^0=\sum_{i=1}^N a_i^0 | \phi_i >< \phi_i =\sum_{i=1}^N | \phi_i >< \phi_i | =1$

rorschach · Beitrag von **rorschach** » 19.11.2014, 13:00

Servus, kann mir jemand vielleicht erklären wie ich bei 2c nicht die selben Messwahrscheinlichkeiten der Eigenwerte $B_1$ , $B_2$ und $B_3$ bekomme verglichen mit den Messwahrscheinlichkeiten von $E_1$ , $E_2$ und $E_3$ . Irgendwas essentielles vergesse ich da...sollte die Lösung im higgs stimmen o_O Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen bitte?!

Neo · Beitrag von **Neo** » 19.11.2014, 13:25

rorschach hat geschrieben:Servus, kann mir jemand vielleicht erklären wie ich bei 2c nicht die selben Messwahrscheinlichkeiten der Eigenwerte $B_1$ , $B_2$ und $B_3$ bekomme verglichen mit den Messwahrscheinlichkeiten von $E_1$ , $E_2$ und $E_3$ . Irgendwas essentielles vergesse ich da...sollte die Lösung im higgs stimmen o_O Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen bitte?!

Naja du verwendest ja für E und B verschiedene Eigenvektoren? Einmal nimmst du phi und einmal nimmst du die b Vektoren! Da sollte dann nicht das gleiche rauskommen. Ich glaub einmal kommt das gleiche raus aber nicht bei allen drei..

rorschach · Beitrag von **rorschach** » 19.11.2014, 14:40

Neo hat geschrieben:
rorschach hat geschrieben:Servus, kann mir jemand vielleicht erklären wie ich bei 2c nicht die selben Messwahrscheinlichkeiten der Eigenwerte $B_1$ , $B_2$ und $B_3$ bekomme verglichen mit den Messwahrscheinlichkeiten von $E_1$ , $E_2$ und $E_3$ . Irgendwas essentielles vergesse ich da...sollte die Lösung im higgs stimmen o_O Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen bitte?!
Naja du verwendest ja für E und B verschiedene Eigenvektoren? Einmal nimmst du phi und einmal nimmst du die b Vektoren! Da sollte dann nicht das gleiche rauskommen. Ich glaub einmal kommt das gleiche raus aber nicht bei allen drei..

Ja ich verwende natürlich verschiedene Eigenvektoren...ich schreib mal einfach die ersten zwei Messwahrscheinlichkeiten mit der jeweiligen Darstellung (ich bin doch immer in B-Darstellung bei Messungen der Observablen B oder?) jedes Vektors an und hoffe du kannst mir meinen Fehler zeigen

$P_{B_1}=\left<\chi\mid^{\{B\}}\phi_1\right>^{\{B\}}\left<\phi_1\mid^{\{B\}}\chi\right>^{\{B\}}=\left[\frac{3}{5}\underbrace{\left<\phi_1\mid^{\{B\}}\phi_1\right>^{\{B\}}}_{=1}+\frac{4}{5}\underbrace{\left<\phi_3\mid^{\{B\}}\phi_1\right>^{\{B\}}}_{=0}\right]\left[\frac{3}{5}\underbrace{\left<\phi_1\mid^{\{B\}}\phi_1\right>^{\{B\}}}_{=1}+\frac{4}{5}\underbrace{\left<\phi_1\mid^{\{B\}}\phi_3\right>^{\{B\}}}_{=0}\right]=\frac{9}{25}$

$P_{B_2}=\left<\chi\mid^{\{B\}}\phi_2\right>^{\{B\}}\left<\phi_2\mid^{\{B\}}\chi\right>^{\{B\}}=\left[\frac{3}{5}\underbrace{\left<\phi_1\mid^{\{B\}}\phi_2\right>^{\{B\}}}_{=0}+\frac{4}{5}\underbrace{\left<\phi_3\mid^{\{B\}}\phi_2\right>^{\{B\}}}_{=0}\right]\left[\frac{3}{5}\underbrace{\left<\phi_2\mid^{\{B\}}\phi_1\right>^{\{B\}}}_{=0}+\frac{4}{5}\underbrace{\left<\phi_2\mid^{\{B\}}\phi_3\right>^{\{B\}}}_{=0}\right]=0$

Was hab ich hier falsch gemacht?!

edit: Darstellung steht außerhalb

chribau · Beitrag von **chribau** » 20.11.2014, 14:27

Hallo! Hat vielleicht jemand 1 a mit vollständiger Induktion gemacht?

Stefan I. · Beitrag von **Stefan I.** » 20.11.2014, 14:28

rorschach hat geschrieben:
$P_{B_1}=\left<\chi\mid^{\{B\}}\phi_1\right>^{\{B\}}\left<\phi_1\mid^{\{B\}}\chi\right>^{\{B\}}=\left[\frac{3}{5}\underbrace{\left<\phi_1\mid^{\{B\}}\phi_1\right>^{\{B\}}}_{=1}+\frac{4}{5}\underbrace{\left<\phi_3\mid^{\{B\}}\phi_1\right>^{\{B\}}}_{=0}\right]\left[\frac{3}{5}\underbrace{\left<\phi_1\mid^{\{B\}}\phi_1\right>^{\{B\}}}_{=1}+\frac{4}{5}\underbrace{\left<\phi_1\mid^{\{B\}}\phi_3\right>^{\{B\}}}_{=0}\right]=\frac{9}{25}$

$P_{B_2}=\left<\chi\mid^{\{B\}}\phi_2\right>^{\{B\}}\left<\phi_2\mid^{\{B\}}\chi\right>^{\{B\}}=\left[\frac{3}{5}\underbrace{\left<\phi_1\mid^{\{B\}}\phi_2\right>^{\{B\}}}_{=0}+\frac{4}{5}\underbrace{\left<\phi_3\mid^{\{B\}}\phi_2\right>^{\{B\}}}_{=0}\right]\left[\frac{3}{5}\underbrace{\left<\phi_2\mid^{\{B\}}\phi_1\right>^{\{B\}}}_{=0}+\frac{4}{5}\underbrace{\left<\phi_2\mid^{\{B\}}\phi_3\right>^{\{B\}}}_{=0}\right]=0$

Was hab ich hier falsch gemacht?!

An den Rechnungen ist prinzipiell nichts falsch, allerdings sind das die Eigenvektoren von H und nicht die von B. Deine Ergebnisse stimmen mit den ersten beiden Wahrscheinlichkeiten für die messwerte von E überein.

sebi · Beitrag von **sebi** » 20.11.2014, 15:31

hallo! ich wollte mal fragen ob jemand einen Tipp für eine einigermaßen elegante Lösung zu 3b hat?

Danke!

Neo · Beitrag von **Neo** » 20.11.2014, 16:14

sebi hat geschrieben:hallo! ich wollte mal fragen ob jemand einen Tipp für eine einigermaßen elegante Lösung zu 3b hat?
Danke!

Also ich hab F auf einen Eigenvektor Psi wirken lassen, so dass dann ja ein Eigenwert rauskommen müsste. Hab dann die Formel von F ausgeschrieben und auf den EV Psi wirken lassen. Dort hab ich die Spektraldarstellung von Â eingesetzt sprich du hast dann Â^n drinnen (Nota Bene: Projektor^n ergibt wieder den Projektor!) und dann ein bissl umgeformt bis ich zum Schluss nur noch den Eigenvektor von F bzw. Â (hab für die beiden mal die gleichen EV angenommen) übrig habe, vor dem dann der EW von F steht!

Bin mir aber nicht ganz sicher, also alles ohne Gewähr..

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