Prüfungssammlung 2014 - Ausarbeitung für 1. Test

mbmdm · Beitrag von **mbmdm** » 28.11.2014, 00:32

Stonefred hat geschrieben:Ich bekomme leider für beide Wahrscheinlichkeiten was anderes. Vermutlich hab ich immer noch was nicht verstanden:

$\left|\psi(t)\right> = U(t)\left|\psi(t=0)\right>$

$U(t) = \sum_n e^{-\frac{i}{\hbar}A_n t}\left|a_n\right>\left<a_n\right|$

$U(t) = e^{\frac{i}{\hbar}a t} \begin{pmatrix} 1&-i\\ i&1\\ \end{pmatrix} + e^{-\frac{i}{\hbar}a t} \begin{pmatrix} 1&i\\ -i&1\\ \end{pmatrix} =$

$\qquad = 2 \begin{pmatrix} \cos(\frac{at}{\hbar}) & \sin(\frac{at}{\hbar}) \\ -\sin(\frac{at}{\hbar}) & \cos(\frac{at}{\hbar})\end{pmatrix}$

Dann nehme ich den Eigenzustand zum kleinsten Eigenwert ( $A_1 = -a$ ), das ist dann $\left|a_1\right>$ , als Anfangszustand:

$\left|\psi(t=0)\right> = \left|a_1\right> = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix})$ zum EW -a

Daraus folgt für die Zeitentwicklung:

$\left|\psi(t)\right> = 2 \begin{pmatrix} \cos(\frac{at}{\hbar}) & \sin(\frac{at}{\hbar}) \\ -\sin(\frac{at}{\hbar}) & \cos(\frac{at}{\hbar})\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix}$

$\left|\psi(t)\right> = \sqrt{2} \begin{pmatrix}-i\cos(\frac{at}{\hbar})+ \sin( \frac{at}{\hbar} ) \\ i\sin(\frac{at}{\hbar})+\cos(\frac{at}{\hbar})\end{pmatrix}$

Und für die Wahrscheinlichkeiten:

$W(A_1) = \left<\psi|a_1\right>\left<a_1|\psi\right> = 2\sqrt{2}$

$W(A_2) = \left<\psi|a_2\right>\left<a_2|\psi\right> =0$

Glaube nicht, dass es testrelevant ist aber hier mal mein Ansatz (habe wirklich gar keine Ahnung ob das stimmt):

Der Eigenzustand zum kleinsten Eigenwert ist der Eigenvektor zum Eigenwert (-a) . D.h.
$\left|\psi(t=0)\right> = \left|a_1\right>= \frac{1}{\sqrt{2}}(\left|\Phi_1\right>-i\left|\Phi_2\right>)$

wobei meine Eigenvektoren so aussehen:
$\left|a_1\right> = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\ i\end{pmatrix}$ zum EW -a in Phi-Basis
$\left|a_2\right> = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}$ zum EW a in Phi-Basis

Der Zeitoperatur ist $U(t)=e^{- \frac{i}{\hbar}Ht}$
Wenn ich mich nicht irre kann man mit Reihendarstellung der Exponentialfunktion und Spektraldarstellung von H auf folgende Form umformen:

$U(t)=\begin{pmatrix} e^{- \frac{i}{\hbar}E_1 t} & 0 \\ 0 & e^{- \frac{i}{\hbar}E_2 t\end{pmatrix}$

In weiterer Folge $\left|\Psi(t)\right>=U(t)\left|\Psi(t=0)\right>$ in Phi-Darstellung berechnen ergibt
$\left|\Psi(t)\right>= \frac{1}{\sqrt{2}}(e^{\frac{1}{2}i \omega t}\left|\Phi_1\right>-i e^{- \frac{1}{2}i \omega t}\left|\Phi_2\right>)$
womit sich für die beiden möglichen Messwerte jeweils die Wahrscheinlichkeit 1/2 ergibt...

Wie gesagt, mit Vorsicht genießen, hab die Rechnung nicht genau nachgeprüft, es ist schon sehr spät und meine Konzentration ist am Ende..

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