4. Tutorium am 13.11.2015

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 10.11.2015, 16:29

matt7hofer hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben: Weil wir mit den ungeraden Eigenfunktionen rechnen, da nehmen die n nur ungerade Werte an! n=1,3,5,... Damit man für die Summe nachher die Zahlen m= 1,2,3,4,5,.. nehmen kann sagt man n=2m+1

Für die geraden Eigenfunktionen wird $c_{n}=0$
schon klar, aber woher nehm ich die information dass ich nur mit ungeraden eigenfunktionen rechne?

der gegebene Grundzustand ist gerade und die Linearkombination der neuen Basisfunktionen ist auch gerade...

außerdem wird $c_{n}$ für gerade n nicht zwangsläufig null...

irgendwas entgeht mir da glaub ich^^

Aber in diesem Beispiel wird c für gerade Funktionen 0 wenn du dir das Skalarprodukt ausrechnest.

Klausll · Beitrag von **Klausll** » 10.11.2015, 16:36

sebastian92 hat geschrieben:Kann wer die Ergebnisse für 2.b) bestätigen?

$c_{n}= \frac{8 \sqrt{2}}{\pi (4-n^{2} ) } cos(\frac{n \pi}{4} )$

$\psi(x,0)= \sum\limits_{m=0}^\infty c_{n}|\phi_n>$ mit $n=2m+1$ weil $\phi_{n}$ die ungerade Eigenfunktion ist

$\psi(x,t)=\sum\limits_{m=0}^\infty c_{n}|\phi_n> e^{-i \frac{E_{n}}{\hbar} t}$

Um $\psi(x,t)$ darzustellen muss man $\psi_{0}$ als Linearkombination der neuen Basisvektoren darstellen, also $\phi_{n}$ mit Länge 2a statt a

$c_{n}= \int_{-a}^{a} dx \frac{1}{\sqrt{a}} cos(\frac{\pi x}{2a} ) \frac{1}{\sqrt{2a}} cos( \frac{\pi n}{4a} )$

Ich habe eine blöde Frage... Welche Energie setzt du in
$\psi(x,t)=\sum\limits_{m=0}^\infty c_{n}|\phi_n> e^{-i \frac{E_{n}}{\hbar} t}$
ein? Falls du die Lösung im Higgs schon gesehen hast(sonst weiter unten ;) ), die haben mit der "alten" Energie gerechnet, also mit der Energie für den 2a breiten Kasten. Das schnalle ich nicht. Sollte da nicht die Energie für den 4a breiten Kasten stehen?

Danke & lg

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 10.11.2015, 17:21

Klausll hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben:Kann wer die Ergebnisse für 2.b) bestätigen?

$c_{n}= \frac{8 \sqrt{2}}{\pi (4-n^{2} ) } cos(\frac{n \pi}{4} )$

$\psi(x,0)= \sum\limits_{m=0}^\infty c_{n}|\phi_n>$ mit $n=2m+1$ weil $\phi_{n}$ die ungerade Eigenfunktion ist

$\psi(x,t)=\sum\limits_{m=0}^\infty c_{n}|\phi_n> e^{-i \frac{E_{n}}{\hbar} t}$

Um $\psi(x,t)$ darzustellen muss man $\psi_{0}$ als Linearkombination der neuen Basisvektoren darstellen, also $\phi_{n}$ mit Länge 2a statt a

$c_{n}= \int_{-a}^{a} dx \frac{1}{\sqrt{a}} cos(\frac{\pi x}{2a} ) \frac{1}{\sqrt{2a}} cos( \frac{\pi n}{4a} )$
Ich habe eine blöde Frage... Welche Energie setzt du in
$\psi(x,t)=\sum\limits_{m=0}^\infty c_{n}|\phi_n> e^{-i \frac{E_{n}}{\hbar} t}$
ein? Falls du die Lösung im Higgs schon gesehen hast(sonst weiter unten ), die haben mit der "alten" Energie gerechnet, also mit der Energie für den 2a breiten Kasten. Das schnalle ich nicht. Sollte da nicht die Energie für den 4a breiten Kasten stehen?

Danke & lg

Ich glaube mit der $E_{n-1}=E_{2m+1-1}=E_{2m}$

minca3 · Beitrag von **minca3** » 10.11.2015, 20:37

sebastian92 hat geschrieben: $\frac{A}{4 \sqrt{a}}[\frac{12a cos( \frac{\pi n}{2} ) }{\pi - \pi n^{2}}+ \frac{12 a cos( \frac{\pi n}{2} ) }{n^{2} \pi - 9 \pi}]$

Wenn ich das in Wolframalpha eingebe (musste Konstante A durch b ersetzen weil zwischen Groß- und Kleinschr. nicht unterschieden wird):

http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false

bekomme ich das Ergebnis wie in den angehängten Files.

sebastian92 hat geschrieben: und für ungerade n ergibt das doch Null oder?

Du musst aufpassen weil der Ausdruck $\frac{3 sin( \frac{\pi}{2} (1 - n))}{1 - n}$ bei n = 1 nicht Null ist. Das gleiche beim 2. Term mit n = 3.

minca3 · Beitrag von **minca3** » 10.11.2015, 21:48

sebastian92 hat geschrieben: Weil wir mit den ungeraden Eigenfunktionen rechnen, da nehmen die n nur ungerade Werte an! n=1,3,5,... Damit man für die Summe nachher die Zahlen m= 1,2,3,4,5,.. nehmen kann sagt man n=2m+1

Geht da nicht n = 1 verloren, oder anders gesagt, sollte das nicht n = 2m - 1 lauten?

minca3 · Beitrag von **minca3** » 10.11.2015, 22:07

Klausll hat geschrieben: Ich habe eine blöde Frage... Welche Energie setzt du in
$\psi(x,t)=\sum\limits_{m=0}^\infty c_{n}|\phi_n> e^{-i \frac{E_{n}}{\hbar} t}$
ein? Falls du die Lösung im Higgs schon gesehen hast(sonst weiter unten ), die haben mit der "alten" Energie gerechnet, also mit der Energie für den 2a breiten Kasten. Das schnalle ich nicht. Sollte da nicht die Energie für den 4a breiten Kasten stehen?

In der Plenum Folie vom 4. November steht:

"Nur diese Messwerte (=Eigenwerte) sind möglich!"

Mit Pfeilen auf die Energieeigenwerte für die Eigenfunktionen. Ich denke daher, dass die Energiewerte des 4a breiten Kastens verwendet werden müssen.

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 11.11.2015, 10:19

minca3 hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben: Weil wir mit den ungeraden Eigenfunktionen rechnen, da nehmen die n nur ungerade Werte an! n=1,3,5,... Damit man für die Summe nachher die Zahlen m= 1,2,3,4,5,.. nehmen kann sagt man n=2m+1
Geht da nicht n = 1 verloren, oder anders gesagt, sollte das nicht n = 2m - 1 lauten?

$m=0$ $n=2m+1=1$

Nicht wenn man bei 0 beginnt.

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 11.11.2015, 10:25

minca3 hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben: $\frac{A}{4 \sqrt{a}}[\frac{12a cos( \frac{\pi n}{2} ) }{\pi - \pi n^{2}}+ \frac{12 a cos( \frac{\pi n}{2} ) }{n^{2} \pi - 9 \pi}]$
Wenn ich das in Wolframalpha eingebe (musste Konstante A durch b ersetzen weil zwischen Groß- und Kleinschr. nicht unterschieden wird):

http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false

bekomme ich das Ergebnis wie in den angehängten Files.

sebastian92 hat geschrieben: und für ungerade n ergibt das doch Null oder?
Du musst aufpassen weil der Ausdruck $\frac{3 sin( \frac{\pi}{2} (1 - n))}{1 - n}$ bei n = 1 nicht Null ist. Das gleiche beim 2. Term mit n = 3.

Ah ok danke das mit den Groß- und Kleinbuchstaben wusste ich nicht.

Wieso ergibt der Ausdruck für n=1 nicht Null??
Der Sinus und der Nenner sind doch für n=1 Null...

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 11.11.2015, 10:43

Klausll hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben:Kann wer die Ergebnisse für 2.b) bestätigen?

$c_{n}= \frac{8 \sqrt{2}}{\pi (4-n^{2} ) } cos(\frac{n \pi}{4} )$

$\psi(x,0)= \sum\limits_{m=0}^\infty c_{n}|\phi_n>$ mit $n=2m+1$ weil $\phi_{n}$ die ungerade Eigenfunktion ist

$\psi(x,t)=\sum\limits_{m=0}^\infty c_{n}|\phi_n> e^{-i \frac{E_{n}}{\hbar} t}$

Um $\psi(x,t)$ darzustellen muss man $\psi_{0}$ als Linearkombination der neuen Basisvektoren darstellen, also $\phi_{n}$ mit Länge 2a statt a

$c_{n}= \int_{-a}^{a} dx \frac{1}{\sqrt{a}} cos(\frac{\pi x}{2a} ) \frac{1}{\sqrt{2a}} cos( \frac{\pi n}{4a} )$
Ich habe eine blöde Frage... Welche Energie setzt du in
$\psi(x,t)=\sum\limits_{m=0}^\infty c_{n}|\phi_n> e^{-i \frac{E_{n}}{\hbar} t}$
ein? Falls du die Lösung im Higgs schon gesehen hast(sonst weiter unten ), die haben mit der "alten" Energie gerechnet, also mit der Energie für den 2a breiten Kasten. Das schnalle ich nicht. Sollte da nicht die Energie für den 4a breiten Kasten stehen?

Danke & lg

Wieso komme ich bei c) auf die doppelte Wahrscheinlichkeit wie in der Lösung?
Kommt bei $|c_{n}|^{2}$ irgendwo ein Faktor 1/2 dazu den ich nicht beachte?

Sonboth · Beitrag von **Sonboth** » 11.11.2015, 11:25

Servus!
Wir hätten das Beispiel 1 so gerechnet, aber mir kommt die Losung irgendwie zu billig vor... Vermutlich haben wir einfach etwas nicht berücksichtigt.

LG David

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 11.11.2015, 11:45

Sonboth hat geschrieben:Servus!
Wir hätten das Beispiel 1 so gerechnet, aber mir kommt die Losung irgendwie zu billig vor... Vermutlich haben wir einfach etwas nicht berücksichtigt.

LG David

Hat wer eine Idee zum 3. Beispiel?

minca3 · Beitrag von **minca3** » 11.11.2015, 11:54

sebastian92 hat geschrieben: Wieso ergibt der Ausdruck für n=1 nicht Null??
Der Sinus und der Nenner sind doch für n=1 Null...

Weil Du m.M.n den Limes berechnen musst:

http://online.wolfram.com/input/?i=lim+ ... +as+n-%3E1

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 11.11.2015, 12:49

minca3 hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben: Wieso ergibt der Ausdruck für n=1 nicht Null??
Der Sinus und der Nenner sind doch für n=1 Null...
Weil Du m.M.n den Limes berechnen musst:

http://online.wolfram.com/input/?i=lim+ ... +as+n-%3E1

Aso ok. und wieso muss man den Limes berechnen?

Wenn ich das jetzt aber für n->3 mache dann bekomme ich für den Term $sin( \frac{\pi(n-3)}{2} ) = \frac{\pi}{2}$ womit ich dann für mein $c_{3}=\frac{A \sqrt{a}}{2}$ erhalte und nicht das gleiche wie für $c_{1}=\frac{3A \sqrt{a}}{4}$

Eine Frage hätte ich noch: Warum muss man nur n=1 und n=3 berechnen ? Oder überprüft man da nur ob sie gleich sind?

bloohiggs · Beitrag von **bloohiggs** » 11.11.2015, 13:28

sebastian92 hat geschrieben:
minca3 hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben: Wieso ergibt der Ausdruck für n=1 nicht Null??
Der Sinus und der Nenner sind doch für n=1 Null...
Weil Du m.M.n den Limes berechnen musst:

http://online.wolfram.com/input/?i=lim+ ... +as+n-%3E1
Aso ok. und wieso muss man den Limes berechnen?

Wenn ich das jetzt aber für n->3 mache dann bekomme ich für den Term $sin( \frac{\pi(n-3)}{2} ) = \frac{\pi}{2}$ womit ich dann für mein $c_{3}=\frac{A \sqrt{a}}{2}$ erhalte und nicht das gleiche wie für $c_{1}=\frac{3A \sqrt{a}}{4}$

Eine Frage hätte ich noch: Warum muss man nur n=1 und n=3 berechnen ? Oder überprüft man da nur ob sie gleich sind?

Weil der Term für alle andere ungerade Werte von n gleich Null ist. $n = 1$ ist eine Pollstelle von $\frac{\sin{\frac{\pi (n-1)}{2}}}{n-1}$ , und nach der Auswertung kriegt man eine nichttriviale Lösung.

Edit: L'Hospital beachten!

minca3 · Beitrag von **minca3** » 11.11.2015, 22:50

hat jemand einen Tipp für 2 d) und 2 e)?

2 d) vor verschieben der Wand krieg ich noch hin den 2. Teil kann ich das Integral nicht lösen.

2 e) weiß ich nicht wie ich's ansetzen soll

forum.technische-physik.at

4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015

Re: 4. Tutorium am 13.11.2015