8. Tutorium am 11.12.2015

minca3 · Beitrag von **minca3** » 05.12.2015, 16:54

die Angaben

minca3 · Beitrag von **minca3** » 05.12.2015, 17:02

Das Beispiel 1.) wurde schon 2 mal verwendet:

* im WS 2012 Tutorium 5 das 1.) Beispiel: http://higgs.at/P_5Semester/Quantentheo ... 2/tut5.pdf
* im WS 2014 Tutorium 7 das 3.) Beispiel: http://higgs.at/P_5Semester/Quantentheo ... 4/tut7.pdf

Vom WS 2012 gibt es eine Lösung: http://higgs.at/P_5Semester/Quantentheo ... oesung.pdf; die ist m.M.n nicht so ganz richtig, das haben die KollegInnen letztes Jahr ähnlich gesehen: http://forum.technische-physik.at/viewt ... 193&t=3862

Ich hab meine Lösung angehängt; Falls jemand weiß wie man in 1d) bei der Spektraldarstellungs Variante diese gleich in Basis {e} berechnen kann wäre ich dankbar für Hinweise.

minca3 · Beitrag von **minca3** » 06.12.2015, 17:30

meine Lösungen für 2.) und 3.)

Bei 3.) hab ich mich irgendwo verrechnet, da sollte $\frac{\hbar}{2}$ rauskommen.

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 07.12.2015, 14:12

minca3 hat geschrieben:meine Lösungen für 2.) und 3.)

Bei 3.) hab ich mich irgendwo verrechnet, da sollte $\frac{\hbar}{2}$ rauskommen.

Der Impulsoperator sieht so aus: $\hat{p}=-i \sqrt{ \frac{m \omega \hbar}{2} } (a - a^{t})$

Du hast h zu viel

Ich komme auf $< \hat{p} > = - \frac{2}{3} \sqrt{m \omega \hbar} cos( \omega t )$ wobei $p_{0} = \sqrt{m \omega \hbar}$

minca3 · Beitrag von **minca3** » 07.12.2015, 14:17

hab Beispiel 3 neu gerechnet und bekomme jetzt das richtige Ergebnis. Weiß jemand warum ich

$aa^{\dagger}$ mit $a^{\dagger}a + 1$

ersetzen muss damit das richtige rauskommt? Warum ist das hier falsch:

$<\psi_{\alpha}(x) | aa^{\dagger} | \psi_{\alpha}(x) > = \alpha \alpha^*$

minca3 · Beitrag von **minca3** » 07.12.2015, 14:25

sebastian92 hat geschrieben:
Der Impulsoperator sieht so aus: $\hat{p}=-i \sqrt{ \frac{m \omega \hbar}{2} } (a - a^{t})$

Du hast h zu viel

Ich glaub das passt schon:

$\frac{1}{x_0} = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}$

$\frac{\hbar}{x_0} = \sqrt{\frac{\hbar^2 m \omega}{\hbar}} = \sqrt{\hbar m \omega}$

123asdf · Beitrag von **123asdf** » 07.12.2015, 14:41

minca3 hat geschrieben:hab Beispiel 3 neu gerechnet und bekomme jetzt das richtige Ergebnis. Weiß jemand warum ich

$aa^{\dagger}$ mit $a^{\dagger}a + 1$

ersetzen muss damit das richtige rauskommt? Warum ist das hier falsch:

$<\psi_{\alpha}(x) | aa^{\dagger} | \psi_{\alpha}(x) > = \alpha \alpha^*$

Weil du nur weißt, dass $a|\Psi> = \alpha |\Psi> \text{ bzw. } <\Psi|a^\dagger = <\Psi| \alpha^*$ ist. Du sagst aber, dass $<\Psi|a = <\Psi| \alpha^*$ ist, was falsch ist

Edit: Ansonsten halte ich deine Version für sinnvoll

Edit2: Kann jemand bestätigen, dass bei Beispiel 4 $\rho= \frac{1}{\sqrt{\pi}x_0} e^{-\left(\frac{x - |\alpha|{x_0}\sqrt{2}\cos(\omega t)}{x_0}\right)^2}$ ist?

philippe · Beitrag von **philippe** » 07.12.2015, 16:43

minca3 hat geschrieben:hab Beispiel 3 neu gerechnet und bekomme jetzt das richtige Ergebnis. Weiß jemand warum ich

$aa^{\dagger}$ mit $a^{\dagger}a + 1$

ersetzen muss damit das richtige rauskommt?

Das kann man mit den Kommutatoren von $[a,a^{\dagger}]= aa^{\dagger} - a^{\dagger}a = 1$ erklären.
Die Gleichung ist im Skript Seite 107 Gl 4.42

minca3 · Beitrag von **minca3** » 07.12.2015, 16:46

123asdf hat geschrieben:
Weil du nur weißt, dass $a|\Psi> = \alpha |\Psi> \text{ bzw. } <\Psi|a^\dagger = <\Psi| \alpha^*$ ist. Du sagst aber, dass $<\Psi|a = <\Psi| \alpha^*$ ist, was falsch ist

danke. Fand eine ähnliche Erklärung hier:

http://www.matheplanet.com/default3.htm ... pic=129621

minca3 · Beitrag von **minca3** » 07.12.2015, 19:56

123asdf hat geschrieben: Edit2: Kann jemand bestätigen, dass bei Beispiel 4 $\rho= \frac{1}{\sqrt{\pi}x_0} e^{-\left(\frac{x - |\alpha|{x_0}\sqrt{2}\cos(\omega t)}{x_0}\right)^2}$ ist?

Nein sorry, hab 4a) und 4b) (siehe Anhang) hingebogen, bei 4c) komm ich auf keinen Grünen Zweig.

maria92 · Beitrag von **maria92** » 07.12.2015, 21:12

minca3 hat geschrieben:Das Beispiel 1.) wurde schon 2 mal verwendet:

* im WS 2012 Tutorium 5 das 1.) Beispiel: http://higgs.at/P_5Semester/Quantentheo ... 2/tut5.pdf
* im WS 2014 Tutorium 7 das 3.) Beispiel: http://higgs.at/P_5Semester/Quantentheo ... 4/tut7.pdf

Vom WS 2012 gibt es eine Lösung: http://higgs.at/P_5Semester/Quantentheo ... oesung.pdf; die ist m.M.n nicht so ganz richtig, das haben die KollegInnen letztes Jahr ähnlich gesehen: http://forum.technische-physik.at/viewt ... 193&t=3862

Ich hab meine Lösung angehängt; Falls jemand weiß wie man in 1d) bei der Spektraldarstellungs Variante diese gleich in Basis {e} berechnen kann wäre ich dankbar für Hinweise.

Du kannst 1d) auch wie folgt lösen:
$U=e^{i\alpha S}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i \alpha)^n}{n!} (S^n) \rightarrow f_n = \frac{(i \alpha)^n}{n!}$
und für die Spektraldarstellung somit:
$\sum |a_n> \left( \sum f_n a^n \right) <a_n| = \sum |a_n> e^{i \alpha a}<a_n|$

wobei du für U in der e-Darstellung einfach $|a_n>^{e}$ verwendest

minca3 · Beitrag von **minca3** » 08.12.2015, 09:43

maria92 hat geschrieben:
und für die Spektraldarstellung somit:
$\sum |a_n> \left( \sum f_n a^n \right) <a_n| = \sum |a_n> e^{i \alpha a}<a_n|$

Hm ja. Aber das liefert mir nur Beiträge in der Matrix Diagonale, wie berechne ich dann die Matrixelemente $U_{12}$ und $U_{21}$ ?

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 08.12.2015, 10:49

Zum 3. Beispiel:

Kann mir wer explizit zeigen warum das gilt $< \phi_{ \alpha}(t)| a | \phi_{ \alpha}(t) > = \alpha (t)$

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 08.12.2015, 12:04

sebastian92 hat geschrieben:Zum 3. Beispiel:

Kann mir wer explizit zeigen warum das gilt $< \phi_{ \alpha}(t)| a | \phi_{ \alpha}(t) > = \alpha (t)$

Hat sich erledigt, habs schon!!

maria92 · Beitrag von **maria92** » 08.12.2015, 14:29

minca3 hat geschrieben:
maria92 hat geschrieben:
und für die Spektraldarstellung somit:
$\sum |a_n> \left( \sum f_n a^n \right) <a_n| = \sum |a_n> e^{i \alpha a}<a_n|$
Hm ja. Aber das liefert mir nur Beiträge in der Matrix Diagonale, wie berechne ich dann die Matrixelemente $U_{12}$ und $U_{21}$ ?

Nein also das liefert dir eine vollbesetzte Matrix. Die normierten Eigenvektoren in e-Darstellung lauten $\frac{1}{\sqrt{2}}(i,1)^T$ und $\frac{1}{\sqrt{2}} (-i,1)^T$ . z.B bekommst du für
$|a_1><a_1| = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} i \\ 1 \end{matrix} \right) \cdot (-i,1) = ... \left( \begin{matrix} 1 & i \\ - i & 1 \end{matrix} \right)$

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