9. Tutorium am 18.12.2015

matt7hofer · Beitrag von **matt7hofer** » 15.12.2015, 16:53

smatkovi hat geschrieben:unser 3. bsp isähnlich zu bsp 1 von der 10. übung letzten jahres

und zu Beispiel 1 aus der 10. Übung WS2010

sowie unser letztes Bsp dort ähnlich zu Bsp 2 is (bis auf die Molekülbestandteile)

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 16.12.2015, 09:18

minca3 hat geschrieben:
bloohiggs hat geschrieben:Hier mein Bsp 1 + 2ab
Bei mir sind bei 2a) die Matrizen etwas anders.

Ich versteh nicht ganz wie du deine Matrix bestimmst..

$L_{+}= \begin{pmatrix} <1,-1 | \hbar \sqrt{2} |1,0 > & <1,-1 | \hbar \sqrt{2} |1,1 > & <1,-1 |0 > \\ <1,0 | \hbar \sqrt{2} |1,0 > & <1,0 | \hbar \sqrt{2} |1,1 > & <1,0 |0 > \\ <1,1 | \hbar \sqrt{2} |1,0 > & <1,1 | \hbar \sqrt{2} |1,1 > & <1,1 |0 > \end{pmatrix}$

Und vorher berechnet wurden:

$L_{+} |1,-1> = \hbar \sqrt{2} |1,0>$
$L_{+} |1,0> = \hbar \sqrt{2} |1,1>$
$L_{+} |1,1> = 0$

Sprich:

$<1, -1 | \hbar \sqrt{2} | 1,0> = \hbar \sqrt{2}$
$<1, 0 | \hbar \sqrt{2} | 1,1> = \hbar \sqrt{2}$

Daraus müsste folgen:

$\begin{pmatrix} \hbar \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \hbar \sqrt{2} 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

oder verstehe ich da irgendetwas komplett falsch ? bitte um Aufklärung..

oder kommen dort die h_quer wurzel2 rein wo man dann in der matrix gleiches bra und ket hat ?

17Cr4 · Beitrag von **17Cr4** » 16.12.2015, 10:08

sebastian92 hat geschrieben:
minca3 hat geschrieben:
bloohiggs hat geschrieben:Hier mein Bsp 1 + 2ab
Bei mir sind bei 2a) die Matrizen etwas anders.

Ich versteh nicht ganz wie du deine Matrix bestimmst..

$L_{+}= \begin{pmatrix} <1,-1 | \hbar \sqrt{2} |1,0 > & <1,-1 | \hbar \sqrt{2} |1,1 > & <1,-1 |0 > \\ <1,0 | \hbar \sqrt{2} |1,0 > & <1,0 | \hbar \sqrt{2} |1,1 > & <1,0 |0 > \\ <1,1 | \hbar \sqrt{2} |1,0 > & <1,1 | \hbar \sqrt{2} |1,1 > & <1,1 |0 > \end{pmatrix}$

Und vorher berechnet wurden:

$L_{+} |1,-1> = \hbar \sqrt{2} |1,0>$
$L_{+} |1,0> = \hbar \sqrt{2} |1,1>$
$L_{+} |1,1> = 0$

Sprich:

$<1, -1 | \hbar \sqrt{2} | 1,0> = \hbar \sqrt{2}$
$<1, 0 | \hbar \sqrt{2} | 1,1> = \hbar \sqrt{2}$

Daraus müsste folgen:

$\begin{pmatrix} \hbar \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \hbar \sqrt{2} 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

oder verstehe ich da irgendetwas komplett falsch ? bitte um Aufklärung..

oder kommen dort die h_quer wurzel2 rein wo man dann in der matrix gleiches bra und ket hat ?

Es gilt:

$<1, -1 | \hbar \sqrt{2} | 1,0> \neq \hbar \sqrt{2}$ sondern $=0$
$<1, 0 | \hbar \sqrt{2} | 1,1> \neq \hbar \sqrt{2}$ sondern $=0$

Die |l,m> bilden meines Wissens nach eine Orthogonalbasis!

Ich habe es mit der Darstellung $L_{+} = \hbar \sqrt{2} |l,m+1><l,m|$ gemacht.
Gibt das selbe Ergebnis

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 16.12.2015, 11:14

Ich erhalte für 3.a)

$\psi = \frac{1}{ \sqrt{6}} [Y_{1}^{-1}(1+i)+Y_{1}^{1}(i-1)+Y_{1}^{0} \sqrt{2}]$

mögliche Messwerte der Observablen $L_{z}: \hbar , 0, - \hbar$

mit den Wahrscheinlichkeiten:

$| <1,1 | \psi> |^{2} = \frac{1}{3}$
$| <1,0 | \psi> |^{2} = \frac{1}{3}$
$| <1,-1 | \psi> |^{2} = \frac{1}{3}$

Für $L^{2}$ gilt doch $L^{2} |l, m> \hbar^{2} l (l+1) |l,m>= 2 \hbar^{2} |l,m>$

Die Warhscheinlichkeit diesen Zustand zu messen ist gleich 1 weil m=0 ? stimmt das? :S

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 16.12.2015, 11:59

3.c)

$< \psi | L_{z} | \psi >= \frac{1}{6}(- \hbar (1+i)(1-i)+ (-i-1)(i-1) \hbar )=0$

$[tex]$ $< \psi | L_{x} | \psi >= \frac{1}{2}( <1,-1 | \hbar \sqrt{2} |1,0 > +<1,0 | \hbar \sqrt{2} |1,1 >+ <1,1 | 0 |1,2 >+<1,-1 | 0 |1,0 > + <1,0 | \hbar \sqrt{2} |1,1 >+ <1,1 | \hbar \sqrt{2} |1,2 > =0$

Aufgrund der Orthogonalität der Kugelflächenfunktionen verschwinden die jeweiligen Erwartungswerte. Analog für y.

Kann das wer bestätigen?

sterlingberger · Beitrag von **sterlingberger** » 16.12.2015, 12:20

verstehe bei 2d) nicht ganz was es mit dem mx und dem Lz auf sich hat/wie das zusammenhängt und was dementsprechend die Wahrscheinlichkeit sein sollte.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Xulat · Beitrag von **Xulat** » 16.12.2015, 15:39

sebastian92 hat geschrieben:3.c)

$< \psi | L_{z} | \psi >= \frac{1}{6}(- \hbar (1+i)(1-i)+ (-i-1)(i-1) \hbar )=0$

$[tex]$ $< \psi | L_{x} | \psi >= \frac{1}{2}( <1,-1 | \hbar \sqrt{2} |1,0 > +<1,0 | \hbar \sqrt{2} |1,1 >+ <1,1 | 0 |1,2 >+<1,-1 | 0 |1,0 > + <1,0 | \hbar \sqrt{2} |1,1 >+ <1,1 | \hbar \sqrt{2} |1,2 > =0$

Aufgrund der Orthogonalität der Kugelflächenfunktionen verschwinden die jeweiligen Erwartungswerte. Analog für y.

Kann das wer bestätigen?

Kann ich bestätigen.

Klausll · Beitrag von **Klausll** » 16.12.2015, 15:46

sterlingberger hat geschrieben:verstehe bei 2d) nicht ganz was es mit dem mx und dem Lz auf sich hat/wie das zusammenhängt und was dementsprechend die Wahrscheinlichkeit sein sollte.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Ich hab leider auch das selbe Problem o.O

Xulat · Beitrag von **Xulat** » 16.12.2015, 16:00

sterlingberger hat geschrieben:verstehe bei 2d) nicht ganz was es mit dem mx und dem Lz auf sich hat/wie das zusammenhängt und was dementsprechend die Wahrscheinlichkeit sein sollte.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Ich habe mir folgendes überlegt:

Die Eigenwerte eines Operators sind bekanntlich basisunabhängig.
In unserer Interpretation der QM sind die Eigenwerte der Hermitschen Operatoren die möglichen Messwerte.
Zudem wissen wir, dass die Eigenwerte des Drehimpulsoperators in z-Richtung bis auf das reduzierte Wirkungsquantum den Zahlen m={-l, -l+1, ..., 0, ..., l} entspricht. Aber diese Projektion des Drehimpulses auf die z-Achse ist willkürlich, projeziert auf die x- und y-Achse werden wir die selben Eigenwerte m-bekommen. In diesem Beispiel sind aufgrund von l=1 die Werte m={-1, 0, 1} möglich.
Zudem befinden wir uns im Eigenzustand der x-Projektion des Drehimpulses, und wir wollen ja die Wahrscheinlichkeit W(m=1) für die z-Komponente bestimmen. Da Lx nicht mit Lz kommutiert, ist es nicht möglich beide gleichzeitig zu messen. Der Erwartungswert von <Lz> in der Lx-Eigenbasis ist null (Leiteroperatoren, siehe Skriptum). Daraus kann man meiner Meinung nach auf eine statistische Gleichverteilung der Messwerte von Lz schließen, daher jeder Messwert in dieser Basis ist gleichwahrscheinlich. Da wir nur 3 Messwerte haben {-1, 0, 1} ist die Wahrscheinlichkeit das Messergebnis m=1 zu bekommen, W(m=1)=W(m=-1)=W(m=0)=1/3.

sterlingberger · Beitrag von **sterlingberger** » 16.12.2015, 16:54

Xulat hat geschrieben:
sterlingberger hat geschrieben:verstehe bei 2d) nicht ganz was es mit dem mx und dem Lz auf sich hat/wie das zusammenhängt und was dementsprechend die Wahrscheinlichkeit sein sollte.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Ich habe mir folgendes überlegt:

Die Eigenwerte eines Operators sind bekanntlich basisunabhängig.
In unserer Interpretation der QM sind die Eigenwerte der Hermitschen Operatoren die möglichen Messwerte.
Zudem wissen wir, dass die Eigenwerte des Drehimpulsoperators in z-Richtung bis auf das reduzierte Wirkungsquantum den Zahlen m={-l, -l+1, ..., 0, ..., l} entspricht. Aber diese Projektion des Drehimpulses auf die z-Achse ist willkürlich, projeziert auf die x- und y-Achse werden wir die selben Eigenwerte m-bekommen. In diesem Beispiel sind aufgrund von l=1 die Werte m={-1, 0, 1} möglich.
Zudem befinden wir uns im Eigenzustand der x-Projektion des Drehimpulses, und wir wollen ja die Wahrscheinlichkeit W(m=1) für die z-Komponente bestimmen. Da Lx nicht mit Lz kommutiert, ist es nicht möglich beide gleichzeitig zu messen. Der Erwartungswert von <Lz> in der Lx-Eigenbasis ist null (Leiteroperatoren, siehe Skriptum). Daraus kann man meiner Meinung nach auf eine statistische Gleichverteilung der Messwerte von Lz schließen, daher jeder Messwert in dieser Basis ist gleichwahrscheinlich. Da wir nur 3 Messwerte haben {-1, 0, 1} ist die Wahrscheinlichkeit das Messergebnis m=1 zu bekommen, W(m=1)=W(m=-1)=W(m=0)=1/3.

Klingt gut, danke!

MTobi · Beitrag von **MTobi** » 16.12.2015, 18:23

bloohiggs hat geschrieben:Hier mein Bsp 1 + 2ab

Wieso kommt in der dritten Zeile des Punktes a) vom ersten Bsp -ih delta(lr)..warum das Minus?

minca3 · Beitrag von **minca3** » 16.12.2015, 21:00

sebastian92 hat geschrieben:
Ich versteh nicht ganz wie du deine Matrix bestimmst..

$L_{+}= \begin{pmatrix} <1,-1 | \hbar \sqrt{2} |1,0 > & <1,-1 | \hbar \sqrt{2} |1,1 > & <1,-1 |0 > \\ <1,0 | \hbar \sqrt{2} |1,0 > & <1,0 | \hbar \sqrt{2} |1,1 > & <1,0 |0 > \\ <1,1 | \hbar \sqrt{2} |1,0 > & <1,1 | \hbar \sqrt{2} |1,1 > & <1,1 |0 > \end{pmatrix}$

wie man auf die Matrix kommt weißt Du?

Matrix Element $a_{i j} = <1, i | L_{+} | 1, i >$

Wobei der Spaltenindex mit dem Ket läuft und die Zeilenindex mit dem Bra's: also für alle Elemente der 1. Zeile ist der Bra $<1, -1|$ , für alle Elemente der 1. Spalte ist der Ket $| 1, -1 >$

Und vorher berechnet wurden:

$L_{+} |1,-1> = \hbar \sqrt{2} |1,0>$
$L_{+} |1,0> = \hbar \sqrt{2} |1,1>$
$L_{+} |1,1> = 0$

Ich rechne die vorher schon aus damit ich die Eigenwerte dann aus dem Skalarprodukt ziehen kann und die Bra's und Ket's auf einander wirken lassen. Wie schon erwähnt wurde ist $<1, i | 1, j > = 0$ für alle $i \not= j$ aufgrund der Orthogonalität

minca3 · Beitrag von **minca3** » 16.12.2015, 21:58

sebastian92 hat geschrieben:Ich erhalte für 3.a)

$\psi = \frac{1}{ \sqrt{6}} [Y_{1}^{-1}(1+i)+Y_{1}^{1}(i-1)+Y_{1}^{0} \sqrt{2}]$

Die Exponentialfunktion kürzt sich bei Dir weg? Und wie hast Du die Normierungskonstante berechnet?

minca3 · Beitrag von **minca3** » 16.12.2015, 22:21

sterlingberger hat geschrieben:verstehe bei 2d) nicht ganz was es mit dem mx und dem Lz auf sich hat/wie das zusammenhängt und was dementsprechend die Wahrscheinlichkeit sein sollte.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

In 2b) berechnest Du die Matrix für $L_x$ und deren Eigenvektoren. In 2d) ist $L_x$ im Eigenzustand $l = 1$ und $m = 1$ , d.h. dieser Zustand muss den Eigenwert $\hbar$ haben.
Jetzt nimmst Du den zu diesem Eigenwert passenden Eigenvektor von $L_x$ und berechnest die Wahrscheinlichkeit:

$W = | < l, m_z | l , m_x > |^2 = | <1,1_z | 1,1_x>|^2$

In meinem Fall ist das

$W = | (0, 0, 1) \begin{pmatrix} 1/2 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1/2 \end{pmatrix} |^2 = \frac{1}{4}$

minca3 · Beitrag von **minca3** » 16.12.2015, 22:26

sebastian92 hat geschrieben:
Die Warhscheinlichkeit diesen Zustand zu messen ist gleich 1 weil m=0 ? stimmt das? :S

Die Wahrscheinlichkeit den Eigenwert $2 \hbar^2$ von $L^2$ zu messen ist 1 weil in $\psi$ nur Eigenvektoren mit $l = 1$ vorkommen.

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