10. Tutorium am 8.1.2016

sterlingberger · Beitrag von **sterlingberger** » 02.01.2016, 13:08

Anbei meine Lösung zum 3. Beispiel.
Als Erklärung weil es wohl etwas wirr aussieht: habe gezeigt, dass sich das mehrdimensionale Problem des harm. Oszis separieren lässt und somit einfach eine Kombo aus eindimensionalen Oszis darstellt. Dann die Lösungen des eindim hergenommen (Energie und Eigenfunktionen) und die Energien addiert und die Wellenfunktionen in einer einzigen zusammengefasst und mit der Tabelle unten den Entartungsgrad der jeweiligen Energien bestimmt.
Hat da jemand eine Meinung dazu? v.a. das psi gefällt mir nicht besonders

Bsp 2 im Grau 3.14

LG

Klausll · Beitrag von **Klausll** » 03.01.2016, 10:51

sterlingberger hat geschrieben:Anbei meine Lösung zum 3. Beispiel.
Als Erklärung weil es wohl etwas wirr aussieht: habe gezeigt, dass sich das mehrdimensionale Problem des harm. Oszis separieren lässt und somit einfach eine Kombo aus eindimensionalen Oszis darstellt. Dann die Lösungen des eindim hergenommen (Energie und Eigenfunktionen) und die Energien addiert und die Wellenfunktionen in einer einzigen zusammengefasst und mit der Tabelle unten den Entartungsgrad der jeweiligen Energien bestimmt.
Hat da jemand eine Meinung dazu? v.a. das psi gefällt mir nicht besonders

Bsp 2 im Grau 3.14

LG

Danke erstmal! Gutes Neues euch allen :)

minca3 · Beitrag von **minca3** » 03.01.2016, 19:37

Meine Lösung Beispiel 1

minca3 · Beitrag von **minca3** » 03.01.2016, 19:57

zu Beispiel 4.):

Im eBook "Tutorium Quantenmechanik" von Jan Markus Schwindt steht auf Seite 191 die Radialgleichung in der Form:

$- \frac{\hbar^2}{2 m} ( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr}) f(r) + ( \frac{m \omega^2}{2} r^2 + \frac{\hbar^2 l^2}{2 m r^2} ) f(r) = E f(r)$

wobei $l$ m.M.n die magnetische Quantenzahl ist (also vom Eigenwert $L_z$ ) deshalb hab ich sie dann $m_l$ genannt

Unter Verwendung von $r_0$ und $\epsilon$ kann man die Gleichung umformen auf

$\frac{d}{dr} r r_0 \frac{d R(r)}{dr} + ( \frac{2 \epsilon r}{r_0} - \frac{r^3}{r_{0}^3} + \frac{r_0 m_{l}^2}{r} ) R(r) = 0$

Das ist eine DGL vom Sturm Liouville'schen Typ. Lösen kann man die wahrschl. mit der Variationsrechnung, hab derzeit keine Ahnung wie.

minca3 · Beitrag von **minca3** » 03.01.2016, 20:01

Klausll hat geschrieben:
Danke erstmal! Gutes Neues euch allen

ja danke. ebenfalls ein gutes Neues

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 04.01.2016, 10:10

sterlingberger hat geschrieben:Anbei meine Lösung zum 3. Beispiel.
Als Erklärung weil es wohl etwas wirr aussieht: habe gezeigt, dass sich das mehrdimensionale Problem des harm. Oszis separieren lässt und somit einfach eine Kombo aus eindimensionalen Oszis darstellt. Dann die Lösungen des eindim hergenommen (Energie und Eigenfunktionen) und die Energien addiert und die Wellenfunktionen in einer einzigen zusammengefasst und mit der Tabelle unten den Entartungsgrad der jeweiligen Energien bestimmt.
Hat da jemand eine Meinung dazu? v.a. das psi gefällt mir nicht besonders

Bsp 2 im Grau 3.14

LG

Hier ist Beispiel 3 ebenfalls gut beschrieben: http://www-e.uni-magdeburg.de/kassner/i ... att_11.pdf

1st_one · Beitrag von **1st_one** » 04.01.2016, 12:19

minca3 hat geschrieben:Meine Lösung Beispiel 1

Eine Frage dazu:

du schließt aus dem 1s Zustand, dass n=1 und l=0 ist, soweit klar, allerdings versteh ich nicht wieso du l,n in die Kugelflächenfunktion einsetzt, anstatt l,m , denn m ist ja auch 0 wenn l=0.

somit wär die Gesuchte Kugelflächenfunkton ja die für (l,m)=(0,0), anstatt (l,m)=(1,0) ?

minca3 · Beitrag von **minca3** » 04.01.2016, 20:09

1st_one hat geschrieben:
du schließt aus dem 1s Zustand, dass n=1 und l=0 ist, soweit klar, allerdings versteh ich nicht wieso du l,n in die Kugelflächenfunktion einsetzt, anstatt l,m , denn m ist ja auch 0 wenn l=0.

somit wär die Gesuchte Kugelflächenfunkton ja die für (l,m)=(0,0), anstatt (l,m)=(1,0) ?

Ich hab Stefan Nagele ein Mail geschrieben und gefragt ob $\psi(\theta, \phi)$ der winkelabhängige Teil der Wellenfunktion ist. Er hat mir folgendes geantwortet:

Psi(theta,phi) ist tatsächlich der winkelabhängige Teil der Wellenfunktion. Sie können Psi(theta,phi) = <theta,phi | Psi> aber auch als Entwicklung der Wellenfunktion |Psi> in der Ortsbasis verstehen - alternativ können Sie Psi natürlich auch in der Basis der Kugelflächenfunktionen darstellen, was bei dem Beispiel verlangt ist.
Eine Wellenfunktion hat in jeder Basis den Charakter einer Wahrscheinlichkeitsamplitude

.

Weiters steht in der Angabe:

a) Entwickeln Sie $\psi$ nach Kugelflächenfunktionen und bestimmen Sie die möglichen Messwerte für den Drehimpuls. Diskutieren Sie Ihr Resultat.

Meine Schlußfolgerung ist, dass in 1a) gefragt ist $\psi(\theta, \phi) = \alpha cos(\theta)$ nach Kugelflächenfunktionen zu entwickeln und nicht den Zustand 1s, der wie Du schon geschrieben hast $Y_{0}^{0}$ als Ergebnis haben müsste.

Die Frage ist dann natürlich warum steht irgendwas über den 1s Zustand wenn wir diese Info nicht verwenden...

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 05.01.2016, 10:38

Stimmen für 4.b) meine Differentialgleichungen für Radial- und Winkelanteil?

$- \frac{\hbar^{2}}{2m}[ \frac{R''(r)}{R(r)} + \frac{R'(r)}{r R(r)} ] + V(r)=E$

$[ \frac{L^{2}}{2m r^{2}} + V(r)] \phi (\varphi)=E\phi( \varphi )$ mit $L^{2}=\hbar^{2} \frac{\partial}{\partial \varphi}$

bloohiggs · Beitrag von **bloohiggs** » 06.01.2016, 09:58

minca3 hat geschrieben:zu Beispiel 4.):

$\frac{d}{dr} r r_0 \frac{d R(r)}{dr} + ( \frac{2 \epsilon r}{r_0} - \frac{r^3}{r_{0}^3} + \frac{r_0 m_{l}^2}{r} ) R(r) = 0$

Das ist eine DGL vom Sturm Liouville'schen Typ. Lösen kann man die wahrschl. mit der Variationsrechnung, hab derzeit keine Ahnung wie.

Potenzreihenansatz! Vermutlich wie in der Vorlesung für die Lösung des eindimensionalen Problems (hab selber noch nicht genau gerechnet, später werd ich hoffentlich meine Lösung posten).

In reduzierten Koordinaten komm ich auf: $\frac{d^2 P}{dr^2} + (\frac{1}{r} - 2r) \frac{dP}{dr} - (\frac{m_{l}^2}{r^2} + 2 - 2 \epsilon) P = 0$

Wobei P die Reihenentwicklung sein sollte, und der Ansatz $R(r) = e^{-\frac{r^2}{2}} P(r)$

1st_one · Beitrag von **1st_one** » 06.01.2016, 12:25

sebastian92 hat geschrieben:Stimmen für 4.b) meine Differentialgleichungen für Radial- und Winkelanteil?

$- \frac{\hbar^{2}}{2m}[ \frac{R''(r)}{R(r)} + \frac{R'(r)}{r R(r)} ] + V(r)=E$

$[ \frac{L^{2}}{2m r^{2}} + V(r)] \phi (\varphi)=E\phi( \varphi )$ mit $L^{2}=\hbar^{2} \frac{\partial}{\partial \varphi}$

Sebastian, wir verstehen nicht ganz wieso man bei der Separation auf 2 Gleichungen kommt, da der Winkelanteil sich ja irgendwie wegkürzt.

Wie auch auf S145 im Skriptum, wo auch nur der Radialanteil übrigbleiben tut.

bloohiggs · Beitrag von **bloohiggs** » 06.01.2016, 12:48

1st_one hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben:Stimmen für 4.b) meine Differentialgleichungen für Radial- und Winkelanteil?

$- \frac{\hbar^{2}}{2m}[ \frac{R''(r)}{R(r)} + \frac{R'(r)}{r R(r)} ] + V(r)=E$

$[ \frac{L^{2}}{2m r^{2}} + V(r)] \phi (\varphi)=E\phi( \varphi )$ mit $L^{2}=\hbar^{2} \frac{\partial}{\partial \varphi}$

Sebastian, wir verstehen nicht ganz wieso man bei der Separation auf 2 Gleichungen kommt, da der Winkelanteil sich ja irgendwie wegkürzt.

Wie auch auf S145 im Skriptum, wo auch nur der Radialanteil übrigbleiben tut.

Kann sich nicht wegkürzen (im Skriptum ist der Winkelanteil schon gerechnet, und dann in die Schrödingergl. eingesetzt). Vielleicht hast du versehentlich durch Kürzen des Ausdruckes $L \Phi R$ durch $R(r) \Phi (\phi)$ das $\Phi$ verloren (L ist in diesem Fall irgendein Operator)?

Navil · Beitrag von **Navil** » 06.01.2016, 14:49

Da noch niemand die Angabe hochgeladen hat:

minca3 · Beitrag von **minca3** » 06.01.2016, 23:27

Man kann m.M.n den winkelabhängigen Teil rauskürzen weil dieser bei allen Termen ohne Differentialoperator vorkommt. Die 2 fache Ableitung nach $\varphi$ wird ja durch den $L_z$ Operator ausgedrückt der, angewand auf den winkelabhängigen Teil der Wellenfunktion, den Eigenwert $m \hbar$ (quadriert wegen 2 maliger Anwendung) liefert.

Ich hab mal 4 a,b,c,d angehängt. Ich bin mir mittlerweile sicher, dass man die DGL nicht selber lösen muss (wie man aus der Angabe 4b vermuten könnte), sondern nur stur die vorgegebenen Lösungsansätze einsetzen muss und schaun, dass man die 77 Rechenfehler findet bis das Ergebnis passt. Apropos: ich hab mich irgendwo verrechnet und finde den Fehler auch nach dem 3. Mal durchrechnen nicht. Anstatt

$(|l| + 1 - \xi)$

bekomm ich

$(|l| + \frac{1}{2} - \xi)$

Vielleicht will sich jemand auf Fehlersuche begeben, mir reicht's für heut.
Der Rest sollte passen.

minca3 · Beitrag von **minca3** » 06.01.2016, 23:31

Weiß jemand wie man Beisp. 2 ansetzt? Ich weiß nicht wie man die $\delta$ Funktion des Potentials richtig Fourier transformiert ...

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