Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

djun
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Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von djun »

hallo,

leider hab ich problem mit den korrekturtermen und hänge da schon seit einiger zeit, mir fehlt eine idee und ich komm einfach nicht drauf.

ich wär sehr froh wenn mir jemand damit helfen könnte.

genauer gesagt:
mir ist klar dass H0=T+V, die drei Zusatzterme kommen ohne Herleitung, ok.
aber wie ergibt sich aus den Hkk, Hls, Hd dann letztendlich deltaEkk, deltaEls und deltaEd? ich versteh da den zusammenhang irgendwie nicht - ich dachte E=H gilt aus der QM? (also von 3.55 auf 3.56/.57/.62 und .65 zu kommen)

kann mir damit jemand vielleicht einen kleine tipp geben?

djun
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von djun »

könntet ihr mir vielleicht damit helfen? Prüfung steht vor der Tür und ich bin nicht schlauer geworden, Kollegen wissen leider auch nicht wies geht.

psk85
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von psk85 »

Kannst du ev. die betreffende Seite einscannen und posten bzw. einen Link posten?

djun
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von djun »

Link hab ich leider keinen, ich kanns morgen auf der TU Scannen!

picodeoro
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von picodeoro »

Ich versuchs mal zu "erklären":
1) 3.56) \sqrt{\mu^2 c^4 + p^2 c^2} ist die Herleitung für den Korrekturterm H_{kk}=-\frac{p^4}{4\mu^2 c^2 2\mu}
2) H=E gilt nur wenn, die WFs Eigenzustände des Hamiltons sind, die |Nljm> (im Skript auch mit |E> bezeichnet) sind aber nur Eigenzustände von H_0, d.h. um E auszurechnen muss man Störungstheorie 1.Ordnung verwenden: <Nljm|H_{kk}|Nljm>,...
3)Um sich nun <E|H_{kk}|E> auszurechnen drückt man sich \left(\frac{p^2}{2\mu}\right)^2 durch T^2=(H_0-V)^2 aus.
4) Finde ich eigentlich gut erklärt im Skript, vielleicht das einzige ist, dass man halt \frac{1}{r}\frac{d V}{d r}=\frac{Z \alpha_f \hbar c}{r^3} bilden muss.

Vielleicht könntest du noch etwas genauer werden, welcher Schritt das Problem ist.

djun
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von djun »

Danke für eure Unterstützung!

Hier sind die Scans aus dem Skript.

Okay, ich versuch nochmal genauer zu erklären wo ich hänge.

ad 1) Die Herleitung für 3.55 (Hkk) kommt aus 3.56? Ich sehe irgendwie den Zusammenhang nicht, sind die Terme etwa gleich?
-> Wie hängen Hkk und dEkk zusammen?

ad 3) Auch hier den Frage nach dem Zusammenhang zw Hkk und dEkk? Wo steckt dieser "\left(\frac{p^2}{2\mu}\right)^2" Term drinnen? Irgendwie seh ich das nicht.

ad 2) Ist mir jetzt klar, vielen Dank!

ad 4) Den Term 3.59 schaff ich auch noch, mein Problem liegt vor allem darin dass ich nicht versteh wie dEkk und Hkk zusammenhängen und wie ich überhaupt auf den Term dEkk komme.

Weiter unten bei Hls ist mir nicht klar wieso im Term 3.61 ein (2ls/) steht? Wo kommt das her? Und darunter habe ich Probleme die 3/4 in Term 3.62 zu finden - wo kommen die her?

Tut mir Leid, es sind ziemlich viele Fragen, ich durchschau diese Herleitung nicht wirklich :(
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psk85
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von psk85 »

Ich schreib mal scheibchenweise, weil ich grad öfters kurz wegmuss ...

ad 1)

Wenn du die rel. Energie-Impulsbeziehung umformst und die Wurzel entwickelst kommt die letzte Zeile von 3.56 raus .. der zweite Term ist nichts anderes als die kin. Energie, der nächste Term mit P^4 ist aber schon interessanter .. dass ist eben die relativistische Korrektur zur kin. Energie. Wenn du jetzt noch das \mu c^2 hineinmultiplizierst brauchst du nur noch den Bruch leicht umschreiben und kommst dann auf den Korrekturterm in 3.55.

psk85
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von psk85 »

3) Den Term H_{kk} kannst du jetzt noch so umformen, dass du die kin. Energie zum Quadrat (oder \frac{P^4}{(2\mu^2)^2} stehen hast, dass ist dann T^2, was dann mit H_0 - V ausgedrückt wird. Hat der Kollege oben schon erklärt, wieso.

4) Wie man auf dEkk durch explizite Rechnung kommt, oder wie? Du hast ja (H_0-V)^2 = H_0^2 - 2H_0 V + V^2 und musst eben die Erwartungswerte für die Potentiale bzw. das Quadrat davon berechnen, H0 spuckt ja nur den Energieeigenwert E0 aus.

picodeoro
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von picodeoro »

ad1) Ja bei der Taylor-Entw. der relat. E-p Beziehung erhält man (ich sehe psk85 war schneller :) )
0.Ordnung: Ruhe-Energie \mu c^2 (tritt aber in H nicht auf, da es nur eine Energienullpunktsverschiebung bewirkt)
1.Ord: klass. kinetische Energie p^2/2\mu& eben
2.Ord. -\mu c^2\frac{1}{8}\left(\frac{p}{mu c}\right)^4 \Leftrightarrow H_{kk}

ad3) aus (3.54) H_0=T+V=\frac{p^2}{2\mu}-\frac{Z\alpha_f \hbar c}{r}\Rightarrow \frac{p^2}{2\mu}=T=H_0-V
Daraus folgt: -\frac{1}{2\mu c^2}\left(\frac{p^2}{2\mu}\right)^2=-\frac{1}{2\mu c^2}T^2\ \Leftrightarrow\ -\frac{1}{2\mu c^2}\left(H_0-V\right)^2.
Diese Umformung macht man, da man den Ewartungswert von p^4 nur schwer direkt berechnen kann (4-malige Differentation der WF).

Der Zusammenhang zw. dEkk & Hkk ist einfach der zwischen Korrektur-Hamilton und Korrektur-Energie (für entsprechende WF)
(Wegen zeitunabh. Störungstheorie 1.Ordnung).

ad LS-Kopplung) die 1/\hbar^2 wurden nur eingeschoben um <E|\frac{2\mathbf{l.s}}{\hbar^2}|E> dimensionslos zu machen, wird aber bei \Delta E_{ls} wieder hineinmultipliziert.

Die 3/4 kommen von 2*l*s=j(j+1)-l(l1)-s(s+1).
Da wir Spin-1/2 Teilchen haben ist s immer konstant 1/2 (ms={-1/2, 1/2}) und deswegen s(s+1)=3/4

psk85
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von psk85 »

Das h_quer hat er einfach in der Gleichung umgeschaufelt, weil ja eig. gilt: J^2|j\rangle = \hbar^2 j (j+1) | j \rangle .. genauso für s und l.


und wie ich sehe .. war da jmd. schneller als ich :)

djun
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von djun »

Danke euch beiden, bin total erleichtert :)

:EDIT: AAAAAAAAAAAAH! Okay, also ist nur der 3. Term in .56 der Ausdruck in 3.55 - sorry, da wär ich nie draufgekommen!

Beim Term 3.57 verstehe ich nicht wo das -1/2yc² herkommt - hängt das mit der Energie zusammen?

Ich versuch die Rechnung jetzt mal chronologisch zu verstehen, wenn ich alles durch die Bank frage verwirre ich euch und mich nur unnötig :)

psk85
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von psk85 »

djun hat geschrieben:Danke euch beiden, bin total erleichtert :)

Ich habs versucht mit den Termen von 3.56 (nach der Taylor-Entwicklung, hoffe das stimmt so) auf den Ausdruck Hkk zu kommen - leider nein, das passt irgendwie überhaupt nicht. Bei mir stehen im Zähler drei Terme ((y^4c^4+4p^2y^2c^2-p^4)/(8y^3c^2) wo liegt hier der Fehler?

Beim Term 3.57 verstehe ich nicht wo das -1/2yc² herkommt - hängt das mit der Energie zusammen?

Ich versuch die Rechnung jetzt mal chronologisch zu verstehen, wenn ich alles durch die Bank frage verwirre ich euch und mich nur unnötig :)
Du nimmst nur den letzten Term der Entwicklung und hast dann

-\mu c^2 \frac{1}{8} \left( \frac{p}{\mu c} \right)^4 = -\frac{1}{8} \frac{p^4}{\mu^3c^2} = -\frac{1}{4}\frac{p^2}{\mu^2 c^2}\cdot\frac{p^2}{2\mu}

djun
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von djun »

Perfekt, danke!

Jetzt ist mir nicht klar wie ich auf 3.57 komme (1. Zeile, alle anderen sind mir klar). Was bedeutet hier -T²/2yc²? Woher kommt das?

psk85
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von psk85 »

Das andere ist auch leicht erklärt:

ausgehend vom letzten Term -\frac{1}{4}\frac{p^2}{\mu^2 c^2}\cdot\frac{p^2}{2\mu} wollen wir das ganze irgendwie auf \frac{P^4}{(2\mu)^2} bringen, was dann eben Ekin^2 oder T^2 ist.

Heben wir also \frac{P^4}{4\mu^2} raus, bleibt noch genau -\frac{1}{2\mu c^2} übrig. Alles klar?

djun
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Re: Problem mit Feinstruktur-Korrekturtermen

Beitrag von djun »

Alles klar! Deine Erklärung hat mir sehr geholfen, bin jetzt immerhin schon etwas weiter!

Somit komme ich bis inklusive 3.59 (ist sehr schön beschrieben was getan werden soll bis dahin) - hänge aber dann bei 3.61. Wo kommt das durch hquer² her? Warum ergibt sich daraus j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)? Wo kommt dann das 3/4 in 3.62 plötzlich her?

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