Für den Phasenraum eines klassischen großkanonischen Ensembles geht man zunächst vom Phasenraum eines klassischen kanonischen Ensembles aus, weil dieses eine feste Teilchenanzahl N hat und man somit nur den Phasenraum der Punktmechanik nehmen muss, den man kennt.
Das heisst, jedes der N Punktteilchen hat 3 Ortskoordinaten und 3 Impulskoordinaten.
Sind die Orte unbeschränkt (also die Teilchen nirgendwo eingeschlossen), dann ist der
Phasenraum für N Teilchen schlicht
Werden die Teilchen durch ein Potenzial in einen Kasten eingesperrt, stehen jedem Teilchen
also nur Orte in einer Teilmenge
dann wird man als Phasenraum für das kanonische Ensemble gleich
wählen.
Aus den Phasenräumen
großkanonischen Phasenraum durch disjunkte Vereinigung über alle Teilchenzahlen N:
Für die Beispiele der StatPhys1-VU reichen diese Phasenräume aus.
Allgemeiner könnte die Bewegung der N Punktteilchen wie in der Mechanik durch Zwangsbedingungen eingeschränkt sein. In diesem Fall sind die verallgemeinerten Orte Punkte im N-Teilchen-Konfigurationsraum Q_N. Zu einem verallgemeinerten Ort
etwas salopp
Der großkanonische Phasenraum ist wieder die disjunkte Vereinigung:
Mit diesem Räumen arbeitet man aber fast nur in der mathematischen Physik. In der theoretischen Physik schreibt das kaum ein Mensch wirklich so hin. In der klassischen statistischen Physik führt man die Rechnungen bevorzugt mit dem kanonischen Ensemble durch und transformiert erst danach auf das großkanonische Ensemble. Die großkanonische Zustandssumme ist schlicht eine Reihe von gewichteten (Gibbs-Faktoren!) kanonischen Zustandssummen. Daher bekommt man diese sofort aus den kanonischen Zustandssummen.
In den kanonischen Zustandssummen kann man für Hamiltonfunktionen der Gestalt
immer die kinetische Energie hinausfaktorisieren, wenn diese von keinen Ortskoordinaten abhängt.
Man hat dann in der kanonischen Zustandssumme ein reines Impulsintegral
als Faktor stehen, das immer gleich ist. Man braucht "nur" mehr die Integrale über die potenziellen Energien auszurechnen. Diese Prozedur führt man für jedes N aus. Damit erhält man die kanonischen Zustandssummen und setzt diese in die Reihe für die großkanonische Zustandssumme ein.
Quantenmechanisch hingegen rechnet man bevorzugt im großkanonischen Ensemble, weil sich nur dort viele Terme zusammenfassen lassen, und drückt die Ergebnisse lieber mit Hilfe von Besetzungszahlen aus (-> Fockraum, 2. Quantisierung).
Das mikrokanonische Ensemble verwendet man fast nie für konkrete Berechnungen, weil diese sehr schnell kompliziert werden können. Das mikrokanonische Ensemble verwendet man eher als Hilfsmittel und Ausgangspunkt für die physikalische Bedeutung der Modelle der statistischen Physik: "Alle in Frage kommenden Zustände sind gleichverteilt", dh., jeder Zustand ist gleich wahrscheinlich. Das ist eine recht leicht verständliche Bedeutung. Von dieser Bedeutung ausgehend erhält man die anderen Ensembles mit Legendre-Transformationen (bzw. Laplace-Transformationen).
Das für unseren Alltag (also wenn man nicht an abgefahrenen Physik-Experimenten im Labor sitzt oder für solche Theorie macht) wichtigste Ensemble wäre eigentlich ein ganz anderes: Das sog. "isotherm-isobare-Ensemble" oder "(T,P,N)-Ensemble", manchmal auch "pressure ensemble" genannt. Für dieses Ensemble sind Temperatur T, Druck P und Teilchenzahl N vorgegeben. Es liefert als thermodynamisches Potenzial die Gibbs'sche freie Energie G = U - TS + PV mit
http://en.wikipedia.org/wiki/Material_p ... ynamics%29
Man bekommt das (T,P,N)-Ensemble in der Physik aber fast nie vorgestellt, weil es ganz einfach blöd direkt zu berechnen ist. Auch ist sein Zustandsraum nicht so einfach hinzuschreiben: Immerhin kann das Volumen ja variabel sein, somit müsste man alle in Frage kommenden Mengen
Hoffe geholfen zu haben...
