2tes Tutorium am 3.4.2009

[ElizaD]

http://tph.tuwien.ac.at/smt/extra/teach ... 030409.pdf

auf ein neues....

[KeKe]

Hi!

Danke dem tollen Wetter gibt es schon erste Ergebnisse

T5
(i) zeigt man mittels ((dV/dP)T)^-1 = (dP/dV)T und Verwendung von (dV/dT)P * (dT/dP)V * (dP/dV)T = -1
(ii) einfach einsetzen und d2V/(dPdT) = d2V/(dTdP) benutzen.

T6
(i) H = p^2/(2m), freies Teilchen
(ii) Phasenraum R x R
(iii) horizontale Geraden, für größere E höher (auf der p-Achse)
(iv) p(t) = p0, x(t) = p0/m*t + x0

T7
(i) harmonischer Oszillator
(ii) Phasenraum R x R
(iii) Ellipsen, größer mit steigendem E
(iv) x(t) = x0*cos(omega*t) + p0/m*sin(omega*t), p(t) = -m*x0*sin(omega*t) + p0*cos(omega*t)

T8
(i) H = p^2/(2*m) + m*g*z
(ii) Phasenraum R x [0, unendlich)
(iii) (liegende) Parabeln, Scheitelpunkt auf der Z-Achse
(iv) p(t) = p0 - m*g*t, z(t) = -g/2*t^2 + p0/m*t + z0
(v) Periodendauer T = 4*Wurzel(2*m*E)/(m*g)
Mittelung über halbe Periode ergibt
<z> = (3-2*m*g)/(12*m^3*g^2)*Wurzel(8*m*E) <-- da habe ich mich vielleicht verrechnet

[Berni]

also bis T8 (iv) bin ich voll deiner meinung...

T8 (v):
bei der Periodendauer kommt bei mir aber T = 2*sqrt(2mE)/mg raus. (hab p(t=0; z=0) = sqrt(2mE) und p(t=T; z=0) = -sqrt(2mE) angenommen)

und für die mittelung dann <z> = 2E/3mg

[KeKe]

Deine Periodendauer und den Mittelwert kann ich bestätigen,
da hatte ich mich definitiv verrechnet

[davro]

Also bei T7 sollte die lösung der bewegungsgleichung so ausschaun x(t)=X0*cos(wt)+P0/(m*w)*sin(w*t); und entsprechendes P(t)
Also einfach bei dem sinus term ein 1/w mehr...steht auch im restlichen internet so

[Hobbes]

Kann mir irgendwer erklären wieso



ist? Schaut so aus als sollte das völlig trivial sein aber ich seh das trotzdem nicht...

[veRMi]

auf die Frage von Hobbes:

Die Herleitung dieser Beziehung wurde im allgemeinen in der Vorlesung gezeigt. Ich möchte sie der Allgemeinheit zur Verfügung stellen, denn auch ich würde sonst nicht wissen, wie man darauf kommt!

Ausgangspunkt ist ein totales Differential für :


genauso für :


wird nun in das erste Differential eingesetzt. Daraus folgt:


Damit diese Identität erfüllt ist, muss also gelten:
a)

b)

aus a)
aus b) und nach Multiplikation mit



Das ist nun die Herleitung.

[alex007]

also beim 8c kommt eher ein verzerrtes dreieck mit parabelseiten raus...

[KeKe]

@ davro: stimmt, das habe ich vergessen.

zu T7: die Parabel ist natürlich bei z = 0 abgeschnitten; sie "liegt", weil im Phasenraum üblicherweise das p nach oben aufgetragen wird.

[Rumte]

wie bringt ihr denn bei T8 die wand ins spiel?

[Arensis]

naja ich würde mal sagen insofern, dass man sagt, dass am punkt der wand (z=o) die potentielle Energie = 0 und die kinetische maximal ist. genau das verwendet man ja um die perioden dauer auszurechnen

[Rumte]

hm, ich frag vielleicht nochmal anders:
weiter oben steht:

(iv) p(t) = p0 - m*g*t, z(t) = -g/2*t^2 + p0/m*t + z0

aber das kann ja nicht richtig sein, oder? sowohl der impuls als auch die z-koord. müssen ja eine periodische bewegung ausführen. p muss ja überhaupt bei z=0 einen sprung haben. wie ist dieses ergebnis also zu verstehen?

[KeKe]

hm, ich frag vielleicht nochmal anders:
weiter oben steht:

(iv) p(t) = p0 - m*g*t, z(t) = -g/2*t^2 + p0/m*t + z0

aber das kann ja nicht richtig sein, oder? sowohl der impuls als auch die z-koord. müssen ja eine periodische bewegung ausführen. p muss ja überhaupt bei z=0 einen sprung haben. wie ist dieses ergebnis also zu verstehen?

Die Gleichungen gelten genau genommen nur für die 1. Periode. Mit einer analytischen Funktion kann man den Sprung ja eigentlich nicht beschreiben -> ich kanns jedenfalls nicht Es sollte hoffentlich ausreichend sein, dass man weiß das es periodisch ist. Man könnte versuchen es mit Stufenfunktionen zu berücksichtigen .....

[Rumte]

aber das ist ja keine periode oder?
bei deiner gleichung nimmt der betrag des impulses einfach linear zu. danach müsste es aber bei z=0 einen sprung geben, wobei sich das impulsvorzeichen plötzlich umdreht, erst wenn der impuls dann wieder auf p0 gesunken is ist die periode vollendet. zumindest denke ich es mir so.
wo liegt mein fehler bzw was verstehe ich nicht?

[KeKe]

aber das ist ja keine periode oder?
bei deiner gleichung nimmt der betrag des impulses einfach linear zu. danach müsste es aber bei z=0 einen sprung geben, wobei sich das impulsvorzeichen plötzlich umdreht, erst wenn der impuls dann wieder auf p0 gesunken is ist die periode vollendet. zumindest denke ich es mir so.
wo liegt mein fehler bzw was verstehe ich nicht?

Es stimmt, dass man die Periodizität nicht in den Gleichungen sieht.
D.h. die Periodizität ergibt sich erst durch die Reflexion bei z=0, wo sich der Impuls wieder umkehrt (positiv wird) und somit wieder in Betrag und Richtung mit dem hier angenommenen Anfangszustand (z=0 und p=p0, p0 positiv) übereinstimmt.

Also gelten die Gleichungen für z(t) und p(t) mit obigen Annahmen bzgl. Anfangszustand nur für mit Periodendauer T. Eigentlich ist es egal, wo du den Beginn der Periode annimmst, sie endet jedenfalls dann, wenn du wieder genau an diesen Punkt im Phasenraum angekommen bist.

Edit: Die Gleichungen für z(t) und p(t) gelten genau genommen nur bis das Teilchen an der Wand reflektiert wird (wenn z=0 und p < 0).
Mit obiger Annahme für den Anfangszustand gelten sie halt "am längsten"