5. Tutorium - 6. Mai 2016

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 05.05.2016, 13:21

kamimatze hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben: Wieso ist zuerst in deiner e-Funktion der Index i und dann j ?
Integrierst du dann Zähler und Nenner beide nach dz?
die Hamilton Fkt. ist ja nur von $z_i ... z_F$ definiert, daher nur die Integration über $z_i$
die $c_j z_j^2$ kommen vom Mittelwert

dann kürzt sich alles raus was $i \neq j$ ist

nach dem kürzen bleibt mir nur das integral mit $i = j$ übrig

hoffe ich hab das halbwegs gut erklärt

Klingt logisch, danke

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 05.05.2016, 14:23

kamimatze hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben: Wieso ist zuerst in deiner e-Funktion der Index i und dann j ?
Integrierst du dann Zähler und Nenner beide nach dz?
die Hamilton Fkt. ist ja nur von $z_i ... z_F$ definiert, daher nur die Integration über $z_i$
die $c_j z_j^2$ kommen vom Mittelwert

dann kürzt sich alles raus was $i \neq j$ ist

nach dem kürzen bleibt mir nur das integral mit $i = j$ übrig

hoffe ich hab das halbwegs gut erklärt

Trotzdem nur nochmal zum Verständnis warum sich das wegkürzt:

$\frac{ \int_{- \infty}^{\infty} c_{j} z_{j}^{2} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}}{\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}}$

Für alle i ungleich j kürzen sich beide integrale weg, sprich:

$c_{j} z_{j}^{2} \frac{ \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}}{\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}} = c_{j} z_{j}^{2}$

Deshalb bleibt nur noch das Integral mit i ist gleich j übrig, sprich:

$\frac{ \int_{- \infty}^{\infty} c_{i} z_{i}^{2} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}}{\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}}$

Welches sich dann mit WA berechnen lässt.

Korrekt ?

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 05.05.2016, 14:29

wilhelm148 hat geschrieben:
FloHech hat geschrieben:
gamsi hat geschrieben:Bei T17 steht nur, dass man die potentielle Energie der Gasteilchen vernachlässigen darf.
Und woher weiß ich, dass sich der Kolben nicht bewegen darf?

Mmn müsste der Hamilton so aussehen:

H(p,q) = pi/2m + pkolben/2M + Mgqkolben
Beim kanonischen Ensemble wird (laut Wiki ) ein konstantes Volumen angenommen, womit sich der Kolben nicht bewegen darf. Das ganze Beispiel würd ohne beweglichen Kolben aber nicht viel Sinn machen. Beim Hamiltonian fehlen dir die Quadrate der Impulse
Es handelt sich meiner Meinung nach um ein Kanonisch-harmonisches Ensemble. Dieses kennzeichnet ein variables Volumen V1.

Aber man soll doch laut Angabe die kanonische Zustandssumme berechnen und nicht die kanonisch harmonische Zustandssumme oder?
Wieso dann kanonisch harmonisch rechnen?

Die Angabe ist finde ich zweideutig.. Wenn man sagt der Kolben gehört zum System muss man kanonisch harmonisch rechnen und ihn mit in die Hamilton Funktion packen.

Sagt man aber man schaut sich das System im thermodynamischen Gleichgewicht an (sowie man es doch normal immer macht oder?!), dann ändern sich die Parameter nicht, sprich der Kolben bewegt sich auch nicht und er hat dann auch keinen Impuls und man müsste ihn daher nicht in der Hamilton Funktion berücksichtigen..

Was ist jetzt richtig?

kamimatze · Beitrag von **kamimatze** » 05.05.2016, 14:58

sebastian92 hat geschrieben:
kamimatze hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben: Wieso ist zuerst in deiner e-Funktion der Index i und dann j ?
Integrierst du dann Zähler und Nenner beide nach dz?
die Hamilton Fkt. ist ja nur von $z_i ... z_F$ definiert, daher nur die Integration über $z_i$
die $c_j z_j^2$ kommen vom Mittelwert

dann kürzt sich alles raus was $i \neq j$ ist

nach dem kürzen bleibt mir nur das integral mit $i = j$ übrig

hoffe ich hab das halbwegs gut erklärt

Trotzdem nur nochmal zum Verständnis warum sich das wegkürzt:

$\frac{ \int_{- \infty}^{\infty} c_{j} z_{j}^{2} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}}{\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}}$

Für alle i ungleich j kürzen sich beide integrale weg, sprich:

$c_{j} z_{j}^{2} \frac{ \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}}{\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}} = c_{j} z_{j}^{2}$

Deshalb bleibt nur noch das Integral mit i ist gleich j übrig, sprich:

$\frac{ \int_{- \infty}^{\infty} c_{i} z_{i}^{2} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}}{\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}} dz_{i}}$

Welches sich dann mit WA berechnen lässt.

Korrekt ?

jup so hab ich mir das auch gedacht

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 05.05.2016, 15:06

Hat schon wer was zu T15? Wäre echt cool irgendwas zum Vergleichen zu haben.

Sapere_Aude · Beitrag von **Sapere_Aude** » 05.05.2016, 17:47

Ich habe für T17 den Phasenraum

$\Gamma = \R^{3N+1} \times [0,L]^N \times [0,L]^N \times [0, q_b]^N \times \R^+$

angenommen, mit $q_b$ die Position des Kolbens, $q_b$ selbst ist allerdings ein Element von $\R^+$ ,

Meine Überlegung ist, dass der Impuls des Kolbens den Impulsraum um eine Dimension erweitert und die Kolbenposition den Konfigurationsraum um $\R^+$ . Beim Zustandssummenintegral kommt dann jeweils ein Integral über die möglichen Kolbenimpulse und die möglichen Kolbenpositionen hinzu.

Wie habt ihr es versucht?

Josephus · Beitrag von **Josephus** » 05.05.2016, 17:55

sebastian92 hat geschrieben:Hat schon wer was zu T15? Wäre echt cool irgendwas zum Vergleichen zu haben.

Ich lade einmal meines schweren Herzens hoch.

EDIT: Ich behandelte w' als Ableitung, und schrieb dann w hin. Ich vermute aber, dass es so nicht gemeint ist, und der Strich keine tiefere Bedeutung hat (dann geht es sich auch recht gut mit der Boltzmannschen Impulsverteilung und der Barometrischen Höhenformel aus). Also die eine Zeile mit "w=..." ignorieren.
Und in der letzten Zeile habe ich den Faktor vom Anfang vergessen, es gehört $D=\left( \sqrt{\frac{\beta}{2m}}^3 \cdot \frac{L^2}{h^3} \right)^N \frac{1}{N!\cdot Z_k}$

Josephus · Beitrag von **Josephus** » 05.05.2016, 18:35

Es handelt sich meiner Meinung nach um ein Kanonisch-harmonisches Ensemble. Dieses kennzeichnet ein variables Volumen V1.

Sehe ich auch so, T17 wäre vom Aufbau her kanonisch-harmonisch. Aber da sie die kanonische Zustandssumme fragen, soll man es wohl kanonisch rechnen(?).

EDIT: Hier mein T17. M brauchte ich gar nicht; Gegenvorschläge?

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