5. Tutorium - 6. Mai 2016

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 04.05.2016, 11:12

Dann mach ich mal einen Anfang.

T17:
Da wir kanonisch rechnen sollen, darf sich das Volumen nicht ändern, der Kolben bewegt sich also nicht, er ist im thermodynamischen Gleichgewicht. Also kein kinetischer Anteil des Kolbens und die potentielle Energie darf ich laut Angabe vernachlässigen.
Verstehe ich das richtig?
Deshalb ergibt sich die Hamilton- Funktion zu: $H= \sum_{N} \frac{p_{i}^{2}}{2m}$

a)
Phasenraum ergibt sich zu $\Gamma = \mathbb{R}^{3N} \times [0,L] \times [0,L] \times [0,z]$

kanonische Zustandssumme:

$Z_{k}= \frac{1}{N! h^{ND} } \int_{\Gamma} dp^{N} dq^{N} e^{- \beta H} = \frac{1}{N! h^{3N} } \int_{\mathbb{R}^{3N}} \Pi_{i=1}^{N} dp_{i} dq_{i} e^{- \beta \frac{p^{2}}{2m}}= \frac{V^{N}}{N! h^{3N} } \int_{\mathbb{R}^{3N}} \Pi_{i=1}^{N} dp_{i} e^{- \beta \frac{p^{2}}{2m}}= \frac{V^{N}}{N!h^{3N}} (\frac{2m \pi}{\beta})^{\frac{3N}{2}}$

Den letzten Schritt habe ich von den Folien auf Seite 27 übernommen, kann mir vielleicht jemand erklären wie man auf das kommt?
Beim vor-vorletzten Schritt ergibt das Integral über die Orte das Volumen, ist das richtig so? :S

b)
kalorische Zustandsgleichung:

$E=- \frac{\partial}{\partial \beta} ln(Z_{k}) = \frac{3N}{2 \beta} = \frac{3}{2} N k_{B} T$

insiii-- · Beitrag von **insiii--** » 04.05.2016, 15:12

Beim letzten Schritt benutzt man das Gauss Integral:

$\int^{+\infty}_{-\infty} exp(-a*x^2) \, dx = sqrt(\frac{\pi}{a})$

V^N müsste vom Integral über den Ort kommen, keine Ortsabhängigkeit im Hamilton (??)

matti · Beitrag von **matti** » 04.05.2016, 16:20

V^N sollte dann ((L^2)*z)^N sein, oder?

gamsi · Beitrag von **gamsi** » 04.05.2016, 16:26

Bei T17 steht nur, dass man die potentielle Energie der Gasteilchen vernachlässigen darf.
Und woher weiß ich, dass sich der Kolben nicht bewegen darf?

Mmn müsste der Hamilton so aussehen:

$H(p,q) = \frac{p_i}{2m} + \frac{p_{kolben}}{2M} + Mgq_{kolben}$

FloHech · Beitrag von **FloHech** » 04.05.2016, 18:39

gamsi hat geschrieben:Bei T17 steht nur, dass man die potentielle Energie der Gasteilchen vernachlässigen darf.
Und woher weiß ich, dass sich der Kolben nicht bewegen darf?

Mmn müsste der Hamilton so aussehen:

H(p,q) = pi/2m + pkolben/2M + Mgqkolben

Beim kanonischen Ensemble wird (laut Wiki

) ein konstantes Volumen angenommen, womit sich der Kolben nicht bewegen darf. Das ganze Beispiel würd ohne beweglichen Kolben aber nicht viel Sinn machen. Beim Hamiltonian fehlen dir die Quadrate der Impulse

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 04.05.2016, 20:13

Also bewegt sich der Kolben nicht oder ? Somit kein kinetischer Anteil des Kolbens.
Zu dem potentiellen Teil: mgq kann ich ja sagen das er eine konstante ist, da sich der Kolben ja nicht bewegt und ich meinen Nullpunkt der potentiellen Energie genau in mein q setze und der Anteil damit verschwindet und somit hätte ich die Hamilton-Funktion wie oben von mir angegeben.

Zu dem Punkt dass das Volumen konstant ist und man sich das System im thermodynamische Gleichgewicht anschaut: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kanonisches_Ensemble

Hat wer schon was zu den anderen Beispielen?

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 05.05.2016, 09:27

Komme da bei T16 irgendwie nicht weiter, gibt's da ne Formel oder so die man anwenden kann oder steh ich am Schlauch?

$<c_{i}z_{i}^{2} >= \frac{1}{N! h^{ND}} N!h^{ND} \frac{1}{ \int_{\Gamma} dq^{N} dp^{N} e^{- \beta c_{i}z^{2}_{i}} } \int_{\Gamma} dq^{N} dp^{N} c_{i} z_{i}^{2} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}}$

Das ergibt nach Formel auf Seite 25 in den Folien:

$- \frac{\partial}{\partial \beta} ln(Z_{k})= - \frac{1}{Z_{k}} \frac{\partial Z_{k}}{\partial \beta}$

Also eingesetzt:

$- \frac{\partial}{\partial \beta} ln(\frac{1}{N! h^{ND}} \int_{\Gamma} dq^{N} dp^{N} e^{- \beta c_{i}z_{i}^{2}})= \frac{1}{N! h^{ND}} N!h^{ND} \frac{1}{ \int_{\Gamma} dq^{N} dp^{N} e^{- \beta c_{i}z^{2}_{i}} } \int_{\Gamma} dq^{N} dp^{N} c_{i} z_{i}^{2} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}}$

Und jetzt komme ich nicht mehr weiter.. wenn man das ableitet kommt man wieder genau auf die obige Beziehung..
Kann mir wer helfen?

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 05.05.2016, 10:36

Versuch zu T15a:

$w'(\tilde{p_{1}}, \tilde{p_{2}}, \tilde{p_{3}})= < \delta(\tilde{p_{1}}-p_{11})\delta(\tilde{p_{2}}-p_{12})\delta(\tilde{p_{3}}-p_{13}) >_{k} = \frac{1}{N! h^{ND}} \frac{1}{Z_{k}} \int_{\Gamma} \delta(\tilde{p_{i}}-p_{1i}) e^{- \beta H} d \Gamma = \frac{\int_{\mathbb{R^{3N}}} \delta(\tilde{p_{i}}-p_{1i}) e^{- \beta H} d \Gamma }{\int_{\mathbb{R^{3N}}} e^{- \beta H} d \Gamma}}$

mit der Hamiltonfunktion: $H= \sum_{i=1}^{N} \frac{p_{i}^{2}}{2m} + U(x_{1},...,x_{N})$ , wobei U das Potential ist

Ergibt sich:

$\frac{ \int_{\mathbb{R^{3N}}} e^{- \beta U} d^{3}x_{1}...d^{3}x_{N} }{ \int_{\mathbb{R^{3N}}} e^{- \beta U} d^{3}x_{1}...d^{3}x_{N} } \frac { \int_{\mathbb{R^{3N}}} \delta(\tilde{p_{i}} - p_{1i}) e^{- \frac{\beta}{2m} \sum p_{i}^{2}} d^{3}p_{1}...d^{3}p_{N} } { \int_{\mathbb{R^{3N}}} e^{- \frac{\beta}{2m} \sum p_{i}^{2}} d^{3}p_{1}...d^{3}p_{N} }$

Der erste Bruch kürzt sich somit bleibt über:

$\frac { \int_{\mathbb{R^{3N}}} \delta(\tilde{p_{i}} - p_{1i}) e^{- \frac{\beta}{2m} \sum p_{i}^{2}} d^{3}p_{1}...d^{3}p_{N} } { \int_{\mathbb{R^{3N}}} e^{- \frac{\beta}{2m} \sum p_{i}^{2}} d^{3}p_{1}...d^{3}p_{N} }$

Mit den zwei Formeln:

$\int_{\mathbb{R^{3}}} \delta(x-x_{0}) f(x) d^{3}x = f(x_{0})$ ; $\int_{\mathbb{R^{3}}} e^{-ax^{2}} d^{3}x= (\frac{\pi}{a})^{\frac{3}{2}}$

kommt man auf:

$e^{\frac{\beta}{2m} (p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2})} (\frac{\beta}{2m \pi})^{\frac{3}{2}}=e^{\frac{\beta}{2m}p^{2}} (\frac{\beta}{2m \pi})^{\frac{3}{2}}$

Ist das die gesuchte Verteilungsfunktion???

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 05.05.2016, 11:11

T15 b)

$w''(\tilde{q_{3}})= < \delta (\tilde{q_{3}} - q_{13}) >_{k} = \frac{\int_{\Gamma} \delta (\tilde{q_{3}} - q_{13}) e^{- \beta H} d \Gamma}{ \int_{\Gamma} e^{- \beta H} d \Gamma}$

Setzt man wieder wie oben für H ein, kürzt sich diesmal der Impulsanteil raus und wir erhalten:

$\frac{\int \delta (\tilde{q_{3}} - q_{13}) e^{- \beta mg \tilde{q_{3}}} d \tilde{q_{3}}}{ \int e^{- \beta mg \tilde{q_{3}}} d \tilde{q_{3}}} = \frac{e^{- \beta mg \tilde{q_{3}}}}{ - \frac{e^{- \beta mg \tilde{q_{3}}}}{ \beta mg} } = - \beta mg$

Ich glaube hier ist irgendwo ein Fehler drin...
Hat wer einen Tipp?

wilhelm148 · Beitrag von **wilhelm148** » 05.05.2016, 11:49

FloHech hat geschrieben:
gamsi hat geschrieben:Bei T17 steht nur, dass man die potentielle Energie der Gasteilchen vernachlässigen darf.
Und woher weiß ich, dass sich der Kolben nicht bewegen darf?

Mmn müsste der Hamilton so aussehen:

H(p,q) = pi/2m + pkolben/2M + Mgqkolben
Beim kanonischen Ensemble wird (laut Wiki ) ein konstantes Volumen angenommen, womit sich der Kolben nicht bewegen darf. Das ganze Beispiel würd ohne beweglichen Kolben aber nicht viel Sinn machen. Beim Hamiltonian fehlen dir die Quadrate der Impulse

Es handelt sich meiner Meinung nach um ein Kanonisch-harmonisches Ensemble. Dieses kennzeichnet ein variables Volumen V1.

flos · Beitrag von **flos** » 05.05.2016, 12:15

sebastian92 hat geschrieben:Komme da bei T16 irgendwie nicht weiter, gibt's da ne Formel oder so die man anwenden kann oder steh ich am Schlauch?

$<c_{i}z_{i}^{2} >= \frac{1}{N! h^{ND}} N!h^{ND} \frac{1}{ \int_{\Gamma} dq^{N} dp^{N} e^{- \beta c_{i}z^{2}_{i}} } \int_{\Gamma} dq^{N} dp^{N} c_{i} z_{i}^{2} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}}$

Das ergibt nach Formel auf Seite 25 in den Folien:

$- \frac{\partial}{\partial \beta} ln(Z_{k})= - \frac{1}{Z_{k}} \frac{\partial Z_{k}}{\partial \beta}$

Also eingesetzt:

$- \frac{\partial}{\partial \beta} ln(\frac{1}{N! h^{ND}} \int_{\Gamma} dq^{N} dp^{N} e^{- \beta c_{i}z_{i}^{2}})= \frac{1}{N! h^{ND}} N!h^{ND} \frac{1}{ \int_{\Gamma} dq^{N} dp^{N} e^{- \beta c_{i}z^{2}_{i}} } \int_{\Gamma} dq^{N} dp^{N} c_{i} z_{i}^{2} e^{- \beta c_{i} z_{i}^{2}}$

Und jetzt komme ich nicht mehr weiter.. wenn man das ableitet kommt man wieder genau auf die obige Beziehung..
Kann mir wer helfen?

du musst hierbei nichts ersetzen, sondern einfach stur das integral berechnen.
genau dasselbe wie letzte übung mit $<E_{kin}>$ berechnen nur halt diesmal $<c_{i}z_{i}^{2} >$
zum Schluss kürzt sich dann alles raus bis auf ein $\frac{1}{2 \beta}$

kamimatze · Beitrag von **kamimatze** » 05.05.2016, 12:16

hier mein T16:

$<c_j z_j^2> = \frac{1}{N!h^{HD}} \frac{1}{Z_k} \int c_j z_j^2 exp(-\beta \sum_{i=1}^{N} c_i z_i^2 ) dz_i$ für alle $i \neq j$ krüzen sich die Integrale mit den Integralen aus $\frac{1}{Z_k}$ das zum schluss bleibt:

$<c_j z_j^2> = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} c_j z_j^2 exp(-\beta c_j z_j^2 ) dz_j}{\int_{-\infty}^{\infty} exp(-\beta c_j z_j^2 ) dz_j}$ dann kann man das ganze mit WA auswerten und kommt auf

$<c_j z_j^2> = \frac{c_j \sqr{\pi}}{2 (\beta c_j)^{3/2}} \frac{\sqr{\beta c_j}}{\sqr{\pi}} = \frac{1}{2} \frac{1}{\beta} = \frac{1}{2} k_b T$

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 05.05.2016, 12:49

kamimatze hat geschrieben:hier mein T16:

$<c_j z_j^2> = \frac{1}{N!h^{HD}} \frac{1}{Z_k} \int c_j z_j^2 exp(-\beta \sum_{i=1}^{N} c_i z_i^2 ) dz_i$ für alle $i \neq j$ krüzen sich die Integrale mit den Integralen aus $\frac{1}{Z_k}$ das zum schluss bleibt:

$<c_j z_j^2> = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} c_j z_j^2 exp(-\beta c_j z_j^2 )}{\int_{-\infty}^{\infty} exp(-\beta c_j z_j^2 )}$ dann kann man das ganze mit WA auswerten und kommt auf

$<c_j z_j^2> = \frac{c_j \sqr{\pi}}{2 (\beta c_j)^{3/2}} \frac{\sqr{\beta c_j}}{\sqr{\pi}} = \frac{1}{2} \frac{1}{\beta} = \frac{1}{2} k_b T$

Wieso ist zuerst in deiner e-Funktion der Index i und dann j ?
Integrierst du dann Zähler und Nenner beide nach dz?

kamimatze · Beitrag von **kamimatze** » 05.05.2016, 13:10

sebastian92 hat geschrieben: Wieso ist zuerst in deiner e-Funktion der Index i und dann j ?
Integrierst du dann Zähler und Nenner beide nach dz?

die Hamilton Fkt. ist ja nur von $z_i ... z_F$ definiert, daher nur die Integration über $z_i$
die $c_j z_j^2$ kommen vom Mittelwert

dann kürzt sich alles raus was $i \neq j$ ist

nach dem kürzen bleibt mir nur das integral mit $i = j$ übrig

hoffe ich hab das halbwegs gut erklärt

forum.technische-physik.at

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