7. Tutorium 20.05.2016

dk1 · Beitrag von **dk1** » 16.05.2016, 22:23

Here we go again

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 18.05.2016, 09:39

T21.

a)
$\rho_{1}^{2}=\rho_{1} \rho_{1}= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \rho_{1}$

Daraus folgt das es ein reiner Zustand ist

$\rho_{2}^{2}=\rho_{2} \rho_{2}= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \neq \rho_{2}$

Daraus folgt das es ein gemischter Zustand ist

b)
$<A>_{\rho_{1}}= Sp(\rho_{1} A)= Sp(\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}) = - \frac{1}{3}+ \frac{1}{3} - \frac{1}{3}= -\frac{1}{3}$

$<A>_{\rho_{2}}= Sp(\rho_{2} A)= Sp(\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{2}{4}= \frac{1}{2}$

$<A^{2}>_{\rho_{1}}= 1$

$<A^{2}>_{\rho_{2}}= 1$

$\bigtriangleup A_{\rho_{1}}= \sqrt{<A^{2}>_{\rho_{1}} - <A>_{\rho_{1}}^{2}}= \sqrt{1- \frac{1}{9}}= \sqrt{\frac{8}{9}}$

$\bigtriangleup A_{\rho_{2}}= \sqrt{<A^{2}>_{\rho_{2}} - <A>_{\rho_{2}}^{2}}= \sqrt{1- \frac{1}{4}}= \sqrt{\frac{3}{4}}$

Kann das wer bestätigen?

sterlingberger · Beitrag von **sterlingberger** » 18.05.2016, 10:01

Bestätige.

Hat schon wer was zu den andern Beispielen?

LG

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 18.05.2016, 10:18

Wäre auch sehr dankbar für ein paar Tipps.

T23.

a)
$\hat{H}= \sum_{i=1}^{N}(\frac{\hat{p_{i}^{2}}}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^{2} x_{i}^{2})$

das sind N unabhängige harmonische Oszillatoren, von denen jeder die Schrödinger-Gleichung löst.

$E_{n}= \hbar \omega [(n_{1}+..+n_{N}) + \frac{N}{2}]= \hbar \omega (n+\frac{N}{2})$ aus Wikipedia

Hilbertraum keine Ahnung.. R3 ??

b) Auf Folie Seite 9 findet man:

$Z_{k}(T,V,N)= Sp(e^{- \beta \hat{H}})= \sum_{i=1}^{N} e^{- \beta E_{n}} = \sum_{i=1}^{N} e^{- \beta E_{n}}=\sum_{i=1}^{N} e^{- \beta \hbar \omega (n+\frac{N}{2})}$

stimmt irgendwas davon? :S

1st_one · Beitrag von **1st_one** » 18.05.2016, 15:24

Mein 23er abc.

Bitte einen Blick drauf werfen, kann man das Ergebnis für Cv noch irgendwie vereinfachen?

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 19.05.2016, 07:49

1st_one hat geschrieben:Mein 23er abc.

Bitte einen Blick drauf werfen, kann man das Ergebnis für Cv noch irgendwie vereinfachen?

Sollte die Eigenenergie nicht $E_{n}=\hbar \omega(n+ \frac{N}{2})$ sein?

Das ist doch wie letzte Woche bei dem Beispiel mit den Energieniveaus. Da hat man doch auch von jedem Teilchen die Eigenenergie dazugezählt.

Oder kommt das daher das die Atome unterscheidbar sind?

1st_one · Beitrag von **1st_one** » 19.05.2016, 10:01

sebastian92 hat geschrieben:
1st_one hat geschrieben:Mein 23er abc.

Bitte einen Blick drauf werfen, kann man das Ergebnis für Cv noch irgendwie vereinfachen?
Sollte die Eigenenergie nicht $E_{n}=\hbar \omega(n+ \frac{N}{2})$ sein?

Das ist doch wie letzte Woche bei dem Beispiel mit den Energieniveaus. Da hat man doch auch von jedem Teilchen die Eigenenergie dazugezählt.

Oder kommt das daher das die Atome unterscheidbar sind?

Die unterscheidbarkeit muss man wohl noch gesondert berücksichtigen.
Du beziehst dich denke ich auf die Tatsache dass es viele HOs sind, aber in der Formel stehen nur die Energieniveaus eines Harmonischen Oszillators, die Vorgehensweise sollt so passen, glaub ich hab mich in der Ableitung verrechnet. Maybe muss man danach noch die Anzahl der Hos berücksichtigen

Fabian · Beitrag von **Fabian** » 19.05.2016, 10:04

Bezüglicher der Zustandssumme hilft vielleicht folgender link
http://www.physikon.de/physikon.cgi?s=h ... 6seite%3D8

Hat schon wer was zu T22?

Differenzierer · Beitrag von **Differenzierer** » 19.05.2016, 17:06

sebastian92 hat geschrieben:T21.

a)
$\rho_{1}^{2}=\rho_{1} \rho_{1}= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \rho_{1}$

Daraus folgt das es ein reiner Zustand ist

$\rho_{2}^{2}=\rho_{2} \rho_{2}= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \neq \rho_{2}$

Daraus folgt das es ein gemischter Zustand ist

b)
$<A>_{\rho_{1}}= Sp(\rho_{1} A)= Sp(\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}) = - \frac{1}{3}+ \frac{1}{3} - \frac{1}{3}= -\frac{1}{3}$

$<A>_{\rho_{2}}= Sp(\rho_{2} A)= Sp(\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{2}{4}= \frac{1}{2}$

$<A^{2}>_{\rho_{1}}= 1$

$<A^{2}>_{\rho_{2}}= 1$

$\bigtriangleup A_{\rho_{1}}= \sqrt{<A^{2}>_{\rho_{1}} - <A>_{\rho_{1}}^{2}}= \sqrt{1- \frac{1}{9}}= \sqrt{\frac{8}{9}}$

$\bigtriangleup A_{\rho_{2}}= \sqrt{<A^{2}>_{\rho_{2}} - <A>_{\rho_{2}}^{2}}= \sqrt{1- \frac{1}{4}}= \sqrt{\frac{3}{4}}$

Kann das wer bestätigen?

$<A>_{\rho_{1}}= Sp(\rho_{1} A)= Sp(\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}) = - \frac{1}{3}+ \frac{1}{3} - \frac{1}{3}= -\frac{1}{3}$

Verstehe diesen Schritt mathematisch nicht, du berechnest ja praktisch nur die Spur von Rho? Was passiert mit dem A ?

Sapere_Aude · Beitrag von **Sapere_Aude** » 19.05.2016, 17:25

T22)
Für die Zustandsdichte siehe Demtröder 3 S457 - S459 (Fall 1D & 3D)

Lösungen für 1D bis 3D: https://itp.tugraz.at/LV/ewald/TFKP/sum ... ortrag.pdf

crazypet · Beitrag von **crazypet** » 19.05.2016, 17:25

$<A>_{\rho_{1}}= Sp(\rho_{1} A)= Sp(\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}) = - \frac{1}{3}+ \frac{1}{3} - \frac{1}{3}= -\frac{1}{3}$

Verstehe diesen Schritt mathematisch nicht, du berechnest ja praktisch nur die Spur von Rho? Was passiert mit dem A ?

Das A wurde schon berücksichtigt und vertauscht dir de 1. mit der 3. Spalte.

Differenzierer · Beitrag von **Differenzierer** » 19.05.2016, 18:21

crazypet hat geschrieben:
$<A>_{\rho_{1}}= Sp(\rho_{1} A)= Sp(\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}) = - \frac{1}{3}+ \frac{1}{3} - \frac{1}{3}= -\frac{1}{3}$

Verstehe diesen Schritt mathematisch nicht, du berechnest ja praktisch nur die Spur von Rho? Was passiert mit dem A ?

Das A wurde schon berücksichtigt und vertauscht dir de 1. mit der 3. Spalte.

Wie zeig ich das mathematisch?

StefanPrt · Beitrag von **StefanPrt** » 19.05.2016, 18:27

Sapere_Aude hat geschrieben:T22)
Für die Zustandsdichte siehe Demtröder 3 S457 - S459 (Fall 1D & 3D)

Lösungen für 1D bis 3D: https://itp.tugraz.at/LV/ewald/TFKP/sum ... ortrag.pdf

kann das jemand hochstellen? hab kein Demtröder3

insiii-- · Beitrag von **insiii--** » 19.05.2016, 18:52

d lim t->0 und Hilbertraum jemand eine Idee ??

kamimatze · Beitrag von **kamimatze** » 19.05.2016, 19:43

bez. T21.b sollte A folgendermaßen aussehen:

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

und dann dementsprechend:

$A*\rho_{1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

$A*\rho_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

die Ergebnisse stimmen, aber die Matrizen schauen halt ein bissi anders aus, oder hab ich da einen argen denkfehler?

forum.technische-physik.at

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