Berechnung von J für Ideales Bose-Gase

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sebix
Beiträge: 147
Registriert: 05.10.2013, 11:02

Berechnung von J für Ideales Bose-Gase

Beitrag von sebix »

Beim Durchsehen und Nachvollziehen der Folien bin ich auf einen Rechenschritt gestossen, den ich nicht nachvollziehen kann.

Es geht um Kapitel 5.1, Folie 4/35

Bild

Das sieht einerseits nach einer Ableitung und Integration von \epsilon aus (\frac 1/beta kommt raus, \sqrt\epsilon wird integriert), aber die Verwandlung des ln in den Bruch kann ich nur teilweise nachvollziehen.

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
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Xulat
Beiträge: 78
Registriert: 30.10.2013, 17:17

Re: Berechnung von J für Ideales Bose-Gase

Beitrag von Xulat »

partielle integration: wurzel epsilon wird integriert, logarithmus wird differenziert

abc123
Beiträge: 33
Registriert: 05.11.2012, 18:31

Re: Berechnung von J für Ideales Bose-Gase

Beitrag von abc123 »

du integrierst den ganzen ausdruck partiell. die grenzen bei epsilon=0 und epsilon=unendlich verschwinden. das minus kommt von der partiellen integration, der faktor 2/3 von der integration von sqrt(E) -> E^(3/2). Wenn du ln(1-exp(beta(E-mu)) ableitest kommst du auf die bose verteilung multipliziert mit beta. durch letzteres hebt sich der faktor kT raus und du bist beim ergebnis.
\frac{\partial}{\partial E}ln [ 1-exp ( -\beta (E- \mu)) ]=\frac{1}{1-exp ( -\beta (E- \mu)) }\frac{\partial}{\partial E}(1-exp ( -\beta (E- \mu)) )=-\beta \frac{-exp ( -\beta (E- \mu)) }{1-exp ( -\beta (E- \mu)) }=\beta \frac{1}{exp ( \beta (E- \mu)) -1}

hilft das?
Nachtrag: dass die grenze bei E=0 verschwindet ist klar wegen E^(3/2). Die Grenze bei E=unendlich verschwinded wegen \lim_{E \to \infty} E^{3/2}ln(1-exp(- \beta(E-\mu))) \approx \lim_{E \to \infty} E^{3/2} exp(- \beta(E-\mu))=0

sebix
Beiträge: 147
Registriert: 05.10.2013, 11:02

Re: Berechnung von J für Ideales Bose-Gase

Beitrag von sebix »

Danke euch beiden fuer die Erklaerungen! So ist es natuerlich voellig klar. Danke!

An die partielle Integration hab ich ueberhaupt nicht gedacht, aber das haette eigenlich gleich in den Sinn kommen muessen, bei diesen Symptomen.

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