8. Tutorium 3.6.2016

cassmssn · Beitrag von **cassmssn** » 31.05.2016, 15:17

mein T24c (ohne jeglicher Garantie)

Axelotl · Beitrag von **Axelotl** » 31.05.2016, 15:45

sebastian92 hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben:T24:

Kann mir wer den Schritt auf der Folie 3/35 erklären?

$J=k_{B}T \sum_{i} ln(1-e^{- \beta (\epsilon_{i} - \mu ) })= k_{B}T g \sum_{{n_{x},n_{y}}} ln(1-e^{- \beta (\frac{\hbar k}{2m} - \mu)})= k_{B}T g (\frac{L}{2 \pi})^{2} \int_{\mathbb{R^{2}}} dk ln(1-e^{- \beta ( \frac{\hbar k}{2m} - \mu)}) + J_{k=0}$

2 Fragen:

1) Ich weiß das g die Entartung ist, aber wieso kommt sie auf einmal beim ersten Schritt dazu?

2) Auf den Folien steht: weil $k=\frac{ 2 \pi}{L}n_{\alpha}$ wird k für sehr große L sehr klein. Und wieso kommt man dann auf diesen 2. Schritt?
Kann mir noch wer erklären wieso hier beim ersten Schritt die Entartung dazukommt?

Stimmt das ?:
i beschreibt den Einteilchenzustand und da jeder Zustand die Spinquantenzahlen -s,..,s also 2s+1 Zustände annehmen kann, muss man das draufmultiplizieren

Du summierst ja über die ganzen Eigenenergien, wenn da öfters ein und die selbe summiert wird (wegen einer Entartung) musst du das berücksichtigen, deshalb das g.

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 01.06.2016, 09:10

Wenn man J nach Beta ableitet, muss man da nicht auch die Beta in den z ableiten:

$\frac{\partial J}{\partial \beta} = \quad \frac{\partial}{\partial \beta} (- \quad \frac{1}{\beta^{2}} \quad g \quad \frac{L^{2}}{2 \pi} \quad \frac{m}{\hbar^{2}} \quad g_{2}(z)+ \quad \frac{1}{\beta} \quad g \quad ln(1-z) )= \quad \frac{2}{\beta^{3}} \quad g \quad \frac{L^{2}}{2 \pi} \quad \frac{m}{\hbar^{2}} \quad g_{2}(z) - \quad \frac{1}{\beta^{2}} \quad g \quad \frac{L^{2}}{2 \pi} \quad \frac{m}{\hbar^{2}} \quad \frac{1}{z} \quad g_{1}(z) \quad \mu z \quad - \frac{1}{\beta^{2}} \quad g \quad ln(1-z) \quad + \frac{1}{\beta} \quad g \quad \frac{\mu z}{1-z}$

Weil wenn man das nicht berücksichtigt kommt was schöneres raus...

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 01.06.2016, 09:26

cassmssn hat geschrieben:mein T24c (ohne jeglicher Garantie)

Wieso kannst du in der 3. Zeile z^2 das A*N einsetzen?
Das ist genau der gleiche Schritt wie auf Folie 8.

Kann mir den wer erklären?

cassmssn · Beitrag von **cassmssn** » 01.06.2016, 12:26

sebastian92 hat geschrieben:Wenn man J nach Beta ableitet, muss man da nicht auch die Beta in den z ableiten:

$\frac{\partial J}{\partial \beta} = \quad \frac{\partial}{\partial \beta} (- \quad \frac{1}{\beta^{2}} \quad g \quad \frac{L^{2}}{2 \pi} \quad \frac{m}{\hbar^{2}} \quad g_{2}(z)+ \quad \frac{1}{\beta} \quad g \quad ln(1-z) )= \quad \frac{2}{\beta^{3}} \quad g \quad \frac{L^{2}}{2 \pi} \quad \frac{m}{\hbar^{2}} \quad g_{2}(z) - \quad \frac{1}{\beta^{2}} \quad g \quad \frac{L^{2}}{2 \pi} \quad \frac{m}{\hbar^{2}} \quad \frac{1}{z} \quad g_{1}(z) \quad \mu z \quad - \frac{1}{\beta^{2}} \quad g \quad ln(1-z) \quad + \frac{1}{\beta} \quad g \quad \frac{\mu z}{1-z}$

Weil wenn man das nicht berücksichtigt kommt was schöneres raus...

ich glaube du hast bei T24/25b) bei der Energie vergessen das <N>*µ dazu zu addieren (Folie 6/35). Damit sollte sich dann der Ausdruck 'schön' zusammenkürzen.

cassmssn · Beitrag von **cassmssn** » 01.06.2016, 12:42

sebastian92 hat geschrieben:
cassmssn hat geschrieben:mein T24c (ohne jeglicher Garantie)

Wieso kannst du in der 3. Zeile z^2 das A*N einsetzen?
Das ist genau der gleiche Schritt wie auf Folie 8.

Kann mir den wer erklären?

soweit ich das verstanden habe löst man nach dem linearen z auf und setzt dann anschließend diesen Ausdruck in derselben Gleichung für das z^2 ein. Alle Terme mit z^2 und höher fallen dann wegen T groß raus.

Fabian · Beitrag von **Fabian** » 01.06.2016, 13:34

Hat schon jemand was für T24d?

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 01.06.2016, 14:05

cassmssn hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben:Wenn man J nach Beta ableitet, muss man da nicht auch die Beta in den z ableiten:

$\frac{\partial J}{\partial \beta} = \quad \frac{\partial}{\partial \beta} (- \quad \frac{1}{\beta^{2}} \quad g \quad \frac{L^{2}}{2 \pi} \quad \frac{m}{\hbar^{2}} \quad g_{2}(z)+ \quad \frac{1}{\beta} \quad g \quad ln(1-z) )= \quad \frac{2}{\beta^{3}} \quad g \quad \frac{L^{2}}{2 \pi} \quad \frac{m}{\hbar^{2}} \quad g_{2}(z) - \quad \frac{1}{\beta^{2}} \quad g \quad \frac{L^{2}}{2 \pi} \quad \frac{m}{\hbar^{2}} \quad \frac{1}{z} \quad g_{1}(z) \quad \mu z \quad - \frac{1}{\beta^{2}} \quad g \quad ln(1-z) \quad + \frac{1}{\beta} \quad g \quad \frac{\mu z}{1-z}$

Weil wenn man das nicht berücksichtigt kommt was schöneres raus...
ich glaube du hast bei T24/25b) bei der Energie vergessen das <N>*µ dazu zu addieren (Folie 6/35). Damit sollte sich dann der Ausdruck 'schön' zusammenkürzen.

stimmt, hast recht, danke

sebastian92 · Beitrag von **sebastian92** » 01.06.2016, 14:21

cassmssn hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben:
cassmssn hat geschrieben:mein T24c (ohne jeglicher Garantie)

Wieso kannst du in der 3. Zeile z^2 das A*N einsetzen?
Das ist genau der gleiche Schritt wie auf Folie 8.

Kann mir den wer erklären?
soweit ich das verstanden habe löst man nach dem linearen z auf und setzt dann anschließend diesen Ausdruck in derselben Gleichung für das z^2 ein. Alle Terme mit z^2 und höher fallen dann wegen T groß raus.

So?

$N= \quad \frac{1}{A} \quad (z+ \frac{z^{2}}{2})$

nach z auflösen:

$z= \quad NA \quad - \frac{z^{2}}{2}$

Das z in das z^2 einsetzen (in der selben Gleichung):

$z= \quad NA \quad - \frac{1}{2}( N^{2} A^{2} \quad - \frac{z^{2}}{2})$

und da gilt: $z=e^{\beta \mu} \quad = e^{\frac{ \mu}{k_{B} T}}; \quad \quad -> \quad \quad lim_{T-> \infty} \quad z = 0$

und das aber nur auf das z^2 angewendet ergibt:

$z= \quad NA - \quad \frac{1}{2} N^{2}A^{2}$

Hab ich das so richtig verstanden? Versteh nur nicht ganz wieso dann das ein z rausfällt aber das andere nicht?

Kann mir wer erklären wie man das formal richtig macht ? auf den Folien steht irgendwas mit iteratives auflösen

bloohiggs · Beitrag von **bloohiggs** » 02.06.2016, 13:24

sebastian92 hat geschrieben:T25a)

Schlussendlich erhält man:

$J= \quad -g \quad \frac{V}{\pi^{3}} \quad \frac{1}{\beta^{3} c^{2} \hbar^{2}} \quad g_{4}(z) \quad +J_{\epsilon=0}$ mit $\quad J_{\epsilon =0}= \quad \frac{1}{\beta } \quad g \quad ln(1-z)$

Kann das wer bestätigen?

Yup, ich erhalte das Gleiche.

cassmssn · Beitrag von **cassmssn** » 02.06.2016, 13:32

sebastian92 hat geschrieben: Das z in das z^2 einsetzen (in der selben Gleichung):

$z= \quad NA \quad - \frac{1}{2}( N^{2} A^{2} \quad - \frac{z^{2}}{2})$

da müsste dann $z=NA-\frac{1}{2}(NA-\frac{z^{2}}{2})^{2}$ stehen.

da kommen dann noch zusätzliche Terme mit z^2 und z^3 dazu, die sind aber dann wegen z<<1 klein gegen den Rest, hab sie deswegen dann einfach weggelassen^^ man kann das z (wenn ich das richtig verstanden habe) beliebig oft für sich selbst einsetzen um eine genauere Lösung zu erhalten, das ersparen wir uns allerdings, deswegen steht in den Folien auch 'näherungsweise'.

Bitte mich zu korrigieren falls das Unsinn ist.

Axelotl · Beitrag von **Axelotl** » 02.06.2016, 13:46

bloohiggs hat geschrieben:
sebastian92 hat geschrieben:T25a)

Schlussendlich erhält man:

$J= \quad -g \quad \frac{V}{\pi^{3}} \quad \frac{1}{\beta^{3} c^{2} \hbar^{2}} \quad g_{4}(z) \quad +J_{\epsilon=0}$ mit $\quad J_{\epsilon =0}= \quad \frac{1}{\beta } \quad g \quad ln(1-z)$

Kann das wer bestätigen?
Yup, ich erhalte das Gleiche.

Sicher? ich bekomme das selbe aber dividiert durch pi^2
eines fällt ja durch die 4pi vom raumwinkel weg, nicht?
außerdem sollte einmal mehr durch beta*c*hquer dividiert werden, weil dk auch substituieren musst.

Axelotl · Beitrag von **Axelotl** » 02.06.2016, 13:55

cassmssn hat geschrieben:Hi, ich habe eine Frage zu T24d):
Die Funktion g1(z) divergiert ja für z=1 (sofern das stimmt^^).
Bedeutet das nun, dass bei diesem Beispiel keine B-E-K stattfindet (in den Folien zum 5. Kapitel steht, dass die g(z) auf 0≤z≤1 ‚brav‘ sein müssen)?

Ja würde ich auch so argumentieren, da ja der erste Teil des N beliebig viel aufnehmen kann

sterlingberger · Beitrag von **sterlingberger** » 02.06.2016, 14:35

Danke erstmal.

Hat jemand T25 d) die Berechnung der kritischen Temperatur und Dichte? Hängen Tc und rohc nicht zusammen?
Wäre für Rechenwege oder ähnliches wirklich dankbar, häng da.

LG

Axelotl · Beitrag von **Axelotl** » 02.06.2016, 16:13

sterlingberger hat geschrieben:Danke erstmal.

Hat jemand T25 d) die Berechnung der kritischen Temperatur und Dichte? Hängen Tc und rohc nicht zusammen?
Wäre für Rechenwege oder ähnliches wirklich dankbar, häng da.

LG

Ja ich glaube die hängen zusammen und sie wollen die gegenseitige abhängigkeit wissen...

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