3. Übung vom 19.11.2010

paperbag · Beitrag von **paperbag** » 16.11.2010, 14:20

Dann fang ich hier mal an... angabe gibts eh im TISS

ich habe heute erfahren, dass es hier http://forum.technische-physik.at/viewt ... 203&t=1570 eine Musterlösung für Bsp. 8 gibt ( UE 7 Bsp. 19 )

Lelouch · Beitrag von **Lelouch** » 16.11.2010, 14:51

Ich versteh beim 1b net wirklich was er haben will, bzw weiß auch nicht was das $\beta$ sein soll.

bei 1a kann man ja den zeitanteil von der chiralen darstellung auf die andere seite bringen, hat dann quasi wieder die schrödingergleichung und $\alpha =\begin{pmatrix} \sigma_j & 0\\ 0 & -\sigma_j \end{pmatrix}$

paperbag · Beitrag von **paperbag** » 16.11.2010, 18:06

$\gamma_0=\beta \; \gamma_j=\beta\,\alpha_j$

ich hab folgendes in einem skript der uni-mainz gelesen (Quantentheorie für Fortgeschrittene, Peter van Dongen):

... Die in der Herleitung der Dirac-Gleichung verwendete explizite Form der γ -Matrizen ist die häuﬁg verwendete Standardform (Dirac-Pauli-Darstellung). Man erhält eine äquivalente Darstellung, wenn man transformiert:

$\psi\rightarrow\psi^\prime = M\,\psi$
$\gamma^\mu\rightarrow(\gamma^\prime)^\mu = M\,\gamma^\mu\,M^{-1}$

und soweit ich das verstanden habe, transformiert man für die chirale Darstellung so, dass der der Chiralitätsoperator $\gamma^5$ diagonal ist.

M ist hier:

$M=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

-> vll. kann man einfach die gegebenen Lösungen von dem Weyl-Bsp hernehmen, p_x berücksichtigen und mit dieser matrix in chirale form bringen

Dieses M liefert dir auch die aus dem Weyl-Glg.-Bsp bekannte form: $\left(\begin{array}{c} \Phi_L \\ \Phi_R \end{array}\right) = M\, \left(\begin{array}{c} \Phi_1 \\ \Phi_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \Phi_1-\Phi_2 \\ \\ \Phi_1+\Phi_2 \end{array}\right)$

ps:

Aus der chiralen Darstellung erhält man die Weyl -Darstellung durch einen trivialen Vorzeichenwechsel

$\gamma^\mu=-\gamma^\mu$

nemesis · Beitrag von **nemesis** » 17.11.2010, 10:58

Zu 7a) und b)
Ich hätte mir das irgendwo so gedacht: $\begin{pmatrix} -m & E+\sigma * p \\ E-\sigma * p & -m \end{pmatrix} * \psi = 0$

mit $\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ und $\gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma_k \\ \sigma_k & 0 \end{pmatrix}$

folgt: $(\gamma^\mu * p_\mu - m)*\psi =0$

was mir die chirale Darstellung wieder auf die Dirac-Darstellung bringt,
jetzt vergleiche ich mit $\gamma^\mu = \begin{pmatrix} \beta \\ \beta * \alpha \end{pmatrix}$

und bekomme
$\beta = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ und $\alpha = \begin{pmatrix} \sigma_k & 0 \\ \0 & -\sigma_k \end{pmatrix}$

keine Ahnung ob das stimmt bzw weiterhilft

paperbag · Beitrag von **paperbag** » 17.11.2010, 15:46

so in etwa hätte ich mir das auch für 7a) gedacht.

für 7 c,d,e,f gibts hier http://neutrino.ethz.ch/Vorlesung/WS200 ... TPKap6.pdf (ab seite 22) kurze prägnante herleitungen.

Lelouch · Beitrag von **Lelouch** » 17.11.2010, 17:24

ist bei 1b vieleicht gemeint dass man die 4 spinoren aus der ersten übung bsp 3a nimmt?
Impuls gibt es nur auf der x Achse und der Impuls ist viel größer als die Masse. daher der Bruch $\frac{p}{E-m}=\frac{1}{\frac{E-m}{p}}=1$ mit E=p (impulsbeziehung E~p, Reihenentwicklung und sofort nach dem ersten term abgebrochen).
Dann kann man die Spinoren $\chi & \Phi$ ablesen und braucht nur noch einsetzen. Sonst ne Idee?

--
Edit: ok keine ahnung mehr wegen dem beta. da is scheinbar doch nur die normale form gefragt was halt wäre diag(1,1,-1,-1)
--

weil wir ja ein "-m" in der Gleichung haben und kein +m

Diskussion von Sz nach der Näherung (in Dirac Darstellung): Die Spinzustande von 1&4 sowie 2&3 sind identisch, die Zustände unterscheiden sich nur noch durch den Vorfaktor (vorzeichen der Energie).

paperbag · Beitrag von **paperbag** » 18.11.2010, 17:51

so, hier mal meine version von 7abcde (eventuell stimmt bei 7a ein vorzeichen nicht, da ich glaub ich die weyl-darstellung verwendet hab)

7fg hab ich (noch) nicht

mereandor · Beitrag von **mereandor** » 18.11.2010, 19:49

@paperbag du hast 7f schon. ganz am anfang machst du allgemeine rechnungen für gamma5. indem du zeigst dass gamme5 in der chiraldarstellung diagonal ist, hast du auch gezeigt dass phi und chi eigenfunktionen von gamme5 sind.

http · Beitrag von **http** » 18.11.2010, 21:10

was genau ist, dann mit den "Lösungen aus Aufgabe3" gemeint? weil die $\psi _i$ sind ja keine eigenfunktionen von $\gamma$ , oder?

baskadym · Beitrag von **baskadym** » 18.11.2010, 23:41

hey guys,
answer for 7g is in the following file: https://alpha.physics.uoi.gr/foudas_pub ... rality.pdf
page 5 to 7

forum.technische-physik.at

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