Vorbereitung 1. Test

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otmosis
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Vorbereitung 1. Test

Beitrag von otmosis »

Hey!

Hat von euch jemand vom 2. Tutorium das 2. Beispiel zufällig mit der Reihendarstellung der e-Funktion gerechnet und wäre so nett das schnell hochzuladen?
Sowohl unser Tutor als auch unser Prof haben uns nahe gelegt, dass wir das beherrschen sollten und ich verzweifel grad ein bisschen damit... :D
Hier im Forum ist es leider nur mit den Diagonalmatrizen gerechnet worden.

Schonmal danke im Vorraus & viel Glück für morgen!

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JakobM
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Registriert: 22.10.2012, 22:40

Re: Vorbereitung 1. Test

Beitrag von JakobM »

im grunde brauchst du es nur mit diagonalmatrizen zu können, da du die matrix ja nach A=X^{-1}\Lambda X diagonalisieren kannst, wobei X die matrix der eigenvektoren und \Lambda eine diagonal matrix ist.
du kannst dann die matrix der eigenvektoren rausziehen, da A^k=(X^{-1}\Lambda X)^k=\underbrace{(X^{-1}\Lambda \underbrace{X )\cdot (X^{-1}}_{\mathbb{1}}\Lambda X) \cdots (X^{-1}\Lambda \underbrace{X) \cdot (X^{-1}}_{\mathbb{1}}\Lambda X)}_{\text{k mal}}=X^{-1}\Lambda^k X.
für die exponential funktion dieser matrix hast du dann \exp(i\alpha A)=\sum \frac{(i\alpha)^k}{k!} A^k=X^{-1}\left(\sum \frac{(i\alpha)^k}{k!} \Lambda^k \right) X.

\Lambda^k kannst du dann schreiben als \Lambda^k={diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)^k={diag}(\lambda_1^k,\cdots,\lambda_n^k)=\mathbb{1}\cdot \vec{\lambda}^{(k)}, wobei \vec{\lambda}^{(k)}=\begin{pmatrix} &\lambda_1^k \\ &\vdots \\ &\lambda_i^k \\ &\vdots \\ &\lambda_n^k \end{pmatrix}.

das heißt was in der reihe steht sind im prinzip n verschiedene exponentialreihen deren argumente die einträge sind, die in dem vektor stehen.
jeder für sich betrachtet liefert einen beitrag \sum \frac{(i\alpha)^k}{k!} \left(\vec{\lambda}^{(k)}\right)_i=\sum \frac{(i\alpha \lambda_i)^k}{k!}=\exp(i\alpha\lambda_i), wobei der index i für den i-ten eintrag \left(\vec{\lambda}^{(k)}\right)_i=\lambda_i^k im vektor steht.
im endeffekt hast du dann, wenn du jeden vektor eintrag einzeln betrachtest, jeweils einen diagonal eintrag in die exponentialfunktion gebracht.
setzt du es nacher wieder zusammen hast du dann \exp(i\alpha A)=X^{-1} \mathbb{1} \begin{pmatrix} \exp(i\alpha\lambda_1)\\ \vdots \\ \exp(i\alpha\lambda_n) \end{pmatrix} X=X^{-1}diag(\exp(i\alpha\lambda_1),\cdots,\exp(i\alpha\lambda_n))X.
im letzten schritt musst du nurmehr die restlichen matrizen ausmultiplizieren und hast das ergebnis.
ansonsten: es ist relativ einfach das ganze ohne diagonalisierung zu machen, wenn du es mit speziellen matrizen, wie den pauli oder gamma matrizen zu tun hast (z.b. \sigma_i^2=\mathbb{1}). im allgemeinen glaube ich dass man die matrix diagonalisieren muss.

ad: vielleicht ist die notation etwas verwirrend.
der index k bezieht sich auf den summationsindex der reihe, also k \in \mathbb{N}_0.
der indexi bezieht sich auf den diagonal eintrag der diagonal matrix, also i \in [1,n], wobei n die dimension der matrix ist.

otmosis
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Re: Vorbereitung 1. Test

Beitrag von otmosis »

Vielen vielen Dank!

So ist es eh auch hier im Forum für die Übung gerechnet worden, ich hab mir nur gedacht,
dass es nicht schaden kann, wenn man das Ganze auch über Summendarstellung rechnen kann.
Vor allem, da manche Sachen damit hergeleitet wurden (Drehmatrizen).

Hab inzwischen im Schabl bissl was dazu gefunden ( S. 383+), falls jemand interessiert ist.

Lg

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JakobM
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Re: Vorbereitung 1. Test

Beitrag von JakobM »

otmosis hat geschrieben:Vielen vielen Dank!

So ist es eh auch hier im Forum für die Übung gerechnet worden, ich hab mir nur gedacht,
dass es nicht schaden kann, wenn man das Ganze auch über Summendarstellung rechnen kann.
Vor allem, da manche Sachen damit hergeleitet wurden (Drehmatrizen).

Hab inzwischen im Schabl bissl was dazu gefunden ( S. 383+), falls jemand interessiert ist.

Lg
meinst du für die diesjährige übung? da wurde es nämlich mittels der leiter-operatoren gerechnet.
im übrigen findest du hier die herleitung der praktischen formel für die exponentialfunktion einer linearkombination aus pauli matrizen.
das ist besonders für den spin im magnetfeld hilfreich.
man hat dann \hat{H}=-\vec{\mu}\cdot \vec{B}=-\frac{qB}{2mc}\frac{\hbar}{2}\vec{\sigma}\cdot \vec{n}\equiv \hbar \omega_B \vec{\sigma} \cdot \vec{n}, wobei \vec{n} der einheitsvektor der b-feld richtung ist und \vec{\sigma} der vektor der die pauli matrizen als eintrag hat.
(\vec{\sigma}\cdot\vec{n})^{2n}=\mathbb{1} folgt dabei aus der antikommutator relation der pauli matrizen:
in indexschreibweise:
2(\vec{n}\cdot\vec{\sigma})^2=\{\vec{n} \cdot\vec{\sigma}, \vec{n} \cdot \vec{\sigma}\}=\{n_i\sigma_i,n_j\sigma_j\}=\{\sigma_i, \sigma_j\} n_i n_j=2\delta_{ij}n_in_j=2n_in_i=2

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sorry, du hast natürlich recht, es wurde mittels der diagonalisierung gerechnet

otmosis
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Re: Vorbereitung 1. Test

Beitrag von otmosis »

im übrigen findest du hier die herleitung der praktischen formel für die exponentialfunktion einer linearkombination aus pauli matrizen.
das ist besonders für den spin im magnetfeld hilfreich.
Jap genau das hab ich gesucht!
Hab die "Herleitung" im Skript (Burgdörfler) für die j = 1/2 Drehmatrix nicht zu 100% nachvollziehen können, und wie
ichs für j = 1 dann noch rechnen wollt bin ich bissl angestanden!
Hab's jetzt endlich verstanden (hoff ich). Oh mann, mein Hirn kapituliert heut schon langsam..

Vielen Dank für deine Hilfe! :)

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