Orthogonalität und Vollständigkeit
- summentier
- Emax
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Orthogonalität und Vollständigkeit
Liebe Leute, eine Grundsatzfrage: Was genau versteht man unter Vollständigkeit? Also soweit ich das mitbekommen habe, ist Orthogonalität ja nichts anderes als das Verschwinden verschiedenartiger Vektoren im inneren Produkt, also:
Anders ausgedrückt (wenn man die Basis als Matrix ) schreibt:
Vollständigkeit ist jetzt folgendermaßen kryptisch definiert:
So in der Matrixschreibweise wäre das aber (gesetzt der Fall, ich hab mich nicht verrechnet):
Damit unterscheiden sich beide Bedingungen aber nur unwesentlich, oder? Sichert die Erfüllung beide Bedingungen sichert, dass B regulär ist? Und warum ist gerade die zweite die "Vollständigkeit"?
Mit der Bitte um tiefere Einsichten...
Anders ausgedrückt (wenn man die Basis als Matrix ) schreibt:
Vollständigkeit ist jetzt folgendermaßen kryptisch definiert:
So in der Matrixschreibweise wäre das aber (gesetzt der Fall, ich hab mich nicht verrechnet):
Damit unterscheiden sich beide Bedingungen aber nur unwesentlich, oder? Sichert die Erfüllung beide Bedingungen sichert, dass B regulär ist? Und warum ist gerade die zweite die "Vollständigkeit"?
Mit der Bitte um tiefere Einsichten...
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http://de.wikipedia.org/wiki/Glossar_ma ... ttribute#V
Hier gibt's ein paar Erklärungen zu "vollständig"... die für die ONS scheint gut zu passen?
Hier gibt's ein paar Erklärungen zu "vollständig"... die für die ONS scheint gut zu passen?
- themel
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Re: Orthogonalität und Vollständigkeit
Grob gesagt bedeutet Vollständigkeit, dass sich jeder Vektor als Linearkombination von Basisvektoren schreiben lässt.
In endlichdimensionalen Vektorräumen ist der Unterschied zur Orthogonalität nicht so offensichtlich, weil ein System aus n orthogonalen Vektoren in einem n-dimensionalen Raum durch die Dimension automatisch vollständig ist.
In etwas exakterer Formulierung findet sich das Ganze wohl in den hinteren Kapitel von Analysis 2 oder in der Wikipedia zB hier.
In endlichdimensionalen Vektorräumen ist der Unterschied zur Orthogonalität nicht so offensichtlich, weil ein System aus n orthogonalen Vektoren in einem n-dimensionalen Raum durch die Dimension automatisch vollständig ist.
In etwas exakterer Formulierung findet sich das Ganze wohl in den hinteren Kapitel von Analysis 2 oder in der Wikipedia zB hier.
- summentier
- Emax
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ja, ja, was vollständigkeit prinzipiell bedeutet ist klar: Vollständig heißt eine Basis dann, wenn Sie eben eine Basis ist (also jeder Vektor Linearkombination etc. etc.)...
Aber wieso bitte ist gerade das:
die bedingung für die vollständigkeit? Das will mir einfach nicht in den sinn...
[EDIT:] nur kurz den gröbsten semantischen schwachsinn korrigiert
Aber wieso bitte ist gerade das:
die bedingung für die vollständigkeit? Das will mir einfach nicht in den sinn...
[EDIT:] nur kurz den gröbsten semantischen schwachsinn korrigiert
- themel
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Für Vollständigkeit müssen wir fordern, dass . Sind die Basisvektoren orthogonal, dann sind die einfach Fourierkoeffizienten. Man multipliziert also obiges mit dem jeweiligen Einheitsvektor und kriegt
Berechnet man
Gleichzeitig aber klarerweise:
Daher also die Vollständigkeitsrelation. Siehe auch: Parsevalsche Gleichung
Berechnet man
Gleichzeitig aber klarerweise:
Daher also die Vollständigkeitsrelation. Siehe auch: Parsevalsche Gleichung
- summentier
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- themel
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Achtung, Summenkonvention! Im dreidimensionalen Fall also:rfc822 hat geschrieben:Kann's sein, dass diese Vollständigskeitsrelation nur gilt, wenn man sie mit Fourier-Koeffizienten multipliziert und so alle Werte vom ersten Index addiert?
Weil zB für
wäre ja
Für gewöhnliche Kugelkoordinaten (was du da beschreibst ist irgendwas anderes) sind das also
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- ManuelO
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- Registriert: 09.10.2006, 16:07
dir isses eh schon klar, aber kurz gesagt bezieht sich die summe bei der orthogonalität bzw. vollständigkeit über unterschiedliche indizes...
einmal wird über die namen (vor dem ,) summiert und einmal über die komponenten...
Dann bekommt man entweder einen Skalar bzw die Einheitsmatrix raus...
Wenn man sichs aufschreibt wirds klar..
(Falls jetzt alles schon in den vorigen Antworten gstanden is einfach den Post ignorieren;))
einmal wird über die namen (vor dem ,) summiert und einmal über die komponenten...
Dann bekommt man entweder einen Skalar bzw die Einheitsmatrix raus...
Wenn man sichs aufschreibt wirds klar..
(Falls jetzt alles schon in den vorigen Antworten gstanden is einfach den Post ignorieren;))