Vorbereitung für Fr 13.04 + viele Fragen

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Georg
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Vorbereitung für Fr 13.04 + viele Fragen

Beitrag von Georg » 07.04.2007, 18:45

Hallo allerseits!

Ich sitze gerade hier und büffle wie ein wilder für den Antritt am Freitag.

Zuerst einmal habe ich einige Fragen den Stoff betreffend und zweitens ist es vielleicht nicht schlecht einen eigenen Thread zu haben wo alle kleineren und größeren Probleme der mathematischen Methoden diskutiert werden können.

Hier folgend meine Fragen:

S. 96 - adjungierter Differentialoperator
Es heißt (Ly1, y2) = (y1, L+y2) was aus der Linearen Algebra auch Sinn macht.
Eine Zeile später ist dann aber (Ly1, y2) - (y1, L+y2) = Oberflächenterm != 0
Die Herleitung vom adjungierten Diffoperator hatte schon Hand und Fuß, aber ist der adjungierte Differentialoperator dann doch nicht 100% analog zu adjungierten Matrizen zu sehen?

S. 103 - In der zweiten Zeile der Herleitung steht dann - int(dx d/dx a(x) W) ... Woher kommt auf einmal das Minus vor dem Integral? Es passt für mich nicht mit der Definition der Wonsky Determinante von vorher zusammen.

S. 103 - auf der Seite mittig: der hier gebrachte Beweis sollte zeigen, dass ein Sturm-Liouville Eigenwertproblem mit r1(y) = r2(y) = 0 als RB Eigenfunktionen hat, die orthogonal aufeinander sind.
Jedoch ist in der Orthogonalitätsrelation ein p(x), also int(dx p*y1*y2 dx) und damit ist doch sicher nicht auch zwangsläufig int(dx y1*y2) = 0 für zwei Lösungen.

Sind die Eigenfunktionen nur orthogonal aufeinander, wenn p=1 ist und sonst nicht und das wurde einfach nur nicht deutlich ausgedrückt?

lg Georg

rfc822
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Re: Vorbereitung für Fr 13.04 + viele Fragen

Beitrag von rfc822 » 08.04.2007, 09:24

Georg hat geschrieben:Ich sitze gerade hier und büffle wie ein wilder für den Antritt am Freitag.
Viel Glück bei der Prüfung!
S. 96 - adjungierter Differentialoperator
Es heißt (Ly1, y2) = (y1, L+y2) was aus der Linearen Algebra auch Sinn macht.
Eine Zeile später ist dann aber (Ly1, y2) - (y1, L+y2) = Oberflächenterm != 0
Die Herleitung vom adjungierten Diffoperator hatte schon Hand und Fuß, aber ist der adjungierte Differentialoperator dann doch nicht 100% analog zu adjungierten Matrizen zu sehen?
Bin mir nicht ganz sicher, aber ich denke, dass das spezielle SL-Problem mit eindeutiger Lösung ja erst durch die Randbedingungen definiert ist, und die kann man immer so umschreiben, dass der "Oberflächenterm" Null wird.
Sturm-Liouville Eigenwertproblem ... Sind die Eigenfunktionen nur orthogonal aufeinander, wenn p=1 ist und sonst nicht und das wurde einfach nur nicht deutlich ausgedrückt?
So ist es. Deshalb wird der SL-Operator in einigen Büchern und zB hier als Ly = (fy')' + gy definiert und das Eigenwertproblem als Ly = \lambda r(x) y mit der "Gewichtsfunktion" r(x) geschrieben.

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themel
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Beitrag von themel » 09.04.2007, 19:07

Wenn du das ganze Kapitel "selbstadjungierte Differentialoperatoren" verstehen willst, kann ich nur empfehlen, das Ganze mal im Jänich anzuschauen, da ist das deutlich besser erklärt (und auch dort ist es noch ein wenig mühsam, finde ich). Leider hilft dir das für die Schweda-Prüfung natürlichgar nichts, weil er es so hören will, wie er es erklärt hat.

zu p103, oben: Das Minus kann ich mir auch nicht erklären. Ist aber für die Aussage eher wurscht, -0 ist auch null :)

zu p103, mitte: Man betrachtet in diesem Fall einfach den Hilbertraum mit einem anderen Skalarprodukt, eben dem mit einer Gewichtsfunktion p(x). Bezüglich dieses Skalarprodukts sind die Funktionen dann orthogonal (weshalb auch druntersteht "Orthogonalitätsrelation bezüglich p(x) im Intervall [A,B]").

rfc822
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Beitrag von rfc822 » 09.04.2007, 19:47

themel hat geschrieben:Wenn du das ganze Kapitel "selbstadjungierte Differentialoperatoren" verstehen willst, kann ich nur empfehlen, das Ganze mal im Jänich anzuschauen, da ist das deutlich besser erklärt (und auch dort ist es noch ein wenig mühsam, finde ich). Leider hilft dir das für die Schweda-Prüfung natürlichgar nichts, weil er es so hören will, wie er es erklärt hat.
Da kann ich nur zustimmen (insbesondere auch dem letzten Satz *lol*)! Hilfreich ist auch das Ana2-Skriptum, Kapitel Wärmeleitungsgleichung, dort sind die Eigenschaften der Operatoren sowie das Rand-Anfangswert-Problem schön und verständlich hergeleitet/beschrieben.

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PhilippD
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Beitrag von PhilippD » 09.04.2007, 23:33

Zu deiner 1. Frage von S.103

Dir ist anscheinend bereits auf Seite 96 nicht aufgefallen, dass bei der Herleitung vom Oberflächenterm Q(x,y_1,y_2) die Definition \left\langle L(y_1),y_2\right\rangle-\left\langle y_1,L^+(y_2)\right\rangle verwendet wurde und im gesamten restlichen Skriptum die Definition aus dem alten Skriptum:
\left\langle y_1,L(y_2)\right\rangle-\left\langle L^+(y_1),y_2\right\rangle
Man beachte den feinen Unterschied! Ich vermute das unterschiedliche Vorzeichen kommt daher. Ich bin aber im Moment zu müde um es genau nach zurechnen.
mfg Philipp

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