"Beweis" des Satzes von Liouville über integrable

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pat
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"Beweis" des Satzes von Liouville über integrable

Beitrag von pat »

Ein Hamiltonsches System mit n Freiheitsgraden heißt vollständig integrabel durch Quadraturen, falls n unabhängige Bewegungsintegrale F_1, \cdots , F_n existieren, die miteinander in Involution stehen.

Okay, so weit bin ich mal:

Integrale in Involution, wenn die Poissonklammern verschwinden, also \left{ F_i, F_j \right} = 0

die Integrale sind unabhängig, wenn die \nabla F_i linear unabhängig sind. \nabla = \left ( \frac{\partial}{\partial q_i}, \cdots , \frac{\partial}{\partial q_n}, \frac{\partial}{\partial p_i}, \cdots , \frac{\partial}{\partial p_n} \right)
Jetzt muss also der Beweis mit dem Torus her:
Existenz von n Integralen -> Phasenraumtrajektorien (was sind Trajektorien?) auf n-dimensionale Mannigfaltig M (was ist eine Mannigfaltigkeit? einfach der "Unterraum"?) im 2n-dimensionalen Raum beschränkt

Beweis für die n-Dimensionalität von M durch symplektische (?) Matrix I
I = \left( \begin{matrix} 0&E\\ -E & 0 \end{matrix} \right) mit E = \left( \begin{matrix} 1& & \\ & \ddots & \\ & & 1 \end{matrix} \right)
mit "Geschwindigkeitsfeldern" \xi_i = I \cdot \nabla F_i, wobei i = 1,...,n

Wieso impliziert die Existenz der Integrale F_i = H (Hamiltonscher Fluss?), dass die Integrale F_1, ... , F_n vollständig auf M liegen bzw. sie alle tangential zu M sind?

"Geschwindigkeitsfelder" in Involution zueinander, weil die Integrale in Involution?

Gut, wenn ich dann den Satz aus der Topologie nehme, von wegen "n-dimensionale Mannigfaltigkeit M mit n unabhängigen tangentialen Vektorfeldern ist n-dimensionaler Torus", was weiter? Soll das ein Beweis sein? Soll das jetzt plausibel sein? Hä?!

Und bleibt noch zu klären: Quadraturen? Einfach sagen: "Das sind z.B. die Q_i beim Keplerproblem mittels Hamilton-Jacobi" ?! Oder gibts ne genauere Erklärung, was das sein soll?

Sodale, wer mir das als erster gscheit erklären kann, bekommt beim Physikerfest im März ein Bier ;)
Ich hab das Forum lieb, weil es schon so lange da ist und man auch Infos von höheren Semestern bekommt :)

anton
Beiträge: 16
Registriert: 19.01.2007, 15:25

Beitrag von anton »

Prof.Troger wird diesen Beweis sicher nicht fragen!

Die Begrifflichkeiten kann ich vermutlich erklären:

Trajektorien: Bei der Lösung von Differentialgleichungen gibt es zwei Interpretationen. Einerseits kann man die Zeitkoordinate (t) genauso auffassen, wie die Ortskoordinaten (z.B: x,y). Anderseits kann man die Zeit aber auch als Parameter der Durchlaufung der Lösungskurve ansehen. Im zweiten Fall spricht man von Trajektorien. Beispiel: \dot{x}=x
Lösung: x(t)=cexp(t)
Erste Interpretation: im Raum (x,t) zeichnet man einfach diese e-Funtion.
Zweite Interpretation: Trajektorie ist einfach die positive x-Achse, falls c positiv, da ja wenn t alle Werte aus den reellen Zahlen durchläuft exp() immer großer 0 ist!

Quadratur: Das ist einfach die Rückführung von DGLs auf Bewegungsintegrale. Was ich damit meine ist folgendes: \ddot{x}\dot{x} - sin(x)\dot{x} = 0
liefert: \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}(\dot{x}^2) + cos(x)) = 0
und somit ein Bewegungsintegral!

mfg

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