Ein Hamiltonsches System mit n Freiheitsgraden heißt vollständig integrabel durch Quadraturen, falls n unabhängige Bewegungsintegrale existieren, die miteinander in Involution stehen.
Okay, so weit bin ich mal:
Integrale in Involution, wenn die Poissonklammern verschwinden, also
die Integrale sind unabhängig, wenn die linear unabhängig sind.
Jetzt muss also der Beweis mit dem Torus her:
Existenz von n Integralen -> Phasenraumtrajektorien (was sind Trajektorien?) auf n-dimensionale Mannigfaltig M (was ist eine Mannigfaltigkeit? einfach der "Unterraum"?) im 2n-dimensionalen Raum beschränkt
Beweis für die n-Dimensionalität von M durch symplektische (?) Matrix I
mit
mit "Geschwindigkeitsfeldern" , wobei i = 1,...,n
Wieso impliziert die Existenz der Integrale (Hamiltonscher Fluss?), dass die Integrale vollständig auf M liegen bzw. sie alle tangential zu M sind?
"Geschwindigkeitsfelder" in Involution zueinander, weil die Integrale in Involution?
Gut, wenn ich dann den Satz aus der Topologie nehme, von wegen "n-dimensionale Mannigfaltigkeit M mit n unabhängigen tangentialen Vektorfeldern ist n-dimensionaler Torus", was weiter? Soll das ein Beweis sein? Soll das jetzt plausibel sein? Hä?!
Und bleibt noch zu klären: Quadraturen? Einfach sagen: "Das sind z.B. die beim Keplerproblem mittels Hamilton-Jacobi" ?! Oder gibts ne genauere Erklärung, was das sein soll?
Sodale, wer mir das als erster gscheit erklären kann, bekommt beim Physikerfest im März ein Bier
"Beweis" des Satzes von Liouville über integrable
- pat
- Beiträge: 418
- Registriert: 07.10.2006, 16:11
- Kontaktdaten:
"Beweis" des Satzes von Liouville über integrable
Ich hab das Forum lieb, weil es schon so lange da ist und man auch Infos von höheren Semestern bekommt :)
-
- Beiträge: 16
- Registriert: 19.01.2007, 15:25
Prof.Troger wird diesen Beweis sicher nicht fragen!
Die Begrifflichkeiten kann ich vermutlich erklären:
Trajektorien: Bei der Lösung von Differentialgleichungen gibt es zwei Interpretationen. Einerseits kann man die Zeitkoordinate (t) genauso auffassen, wie die Ortskoordinaten (z.B: x,y). Anderseits kann man die Zeit aber auch als Parameter der Durchlaufung der Lösungskurve ansehen. Im zweiten Fall spricht man von Trajektorien. Beispiel:
Lösung:
Erste Interpretation: im Raum (x,t) zeichnet man einfach diese e-Funtion.
Zweite Interpretation: Trajektorie ist einfach die positive x-Achse, falls c positiv, da ja wenn t alle Werte aus den reellen Zahlen durchläuft exp() immer großer 0 ist!
Quadratur: Das ist einfach die Rückführung von DGLs auf Bewegungsintegrale. Was ich damit meine ist folgendes:
liefert:
und somit ein Bewegungsintegral!
mfg
Die Begrifflichkeiten kann ich vermutlich erklären:
Trajektorien: Bei der Lösung von Differentialgleichungen gibt es zwei Interpretationen. Einerseits kann man die Zeitkoordinate (t) genauso auffassen, wie die Ortskoordinaten (z.B: x,y). Anderseits kann man die Zeit aber auch als Parameter der Durchlaufung der Lösungskurve ansehen. Im zweiten Fall spricht man von Trajektorien. Beispiel:
Lösung:
Erste Interpretation: im Raum (x,t) zeichnet man einfach diese e-Funtion.
Zweite Interpretation: Trajektorie ist einfach die positive x-Achse, falls c positiv, da ja wenn t alle Werte aus den reellen Zahlen durchläuft exp() immer großer 0 ist!
Quadratur: Das ist einfach die Rückführung von DGLs auf Bewegungsintegrale. Was ich damit meine ist folgendes:
liefert:
und somit ein Bewegungsintegral!
mfg