VII.3 Relativistische Addition von Geschwindigkeiten

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pat
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VII.3 Relativistische Addition von Geschwindigkeiten

Beitrag von pat »

Könnte mir bitte irgendjemand das folgende Beispiel bestätigen. Ich hab jetzt so lange daran herumgedoktort, dass ich einfach nicht mehr weiß, was richtig oder falsch ist...

Transformation einer beliebig orientierten Teilchengeschwindigkeit \vec{u} in S bei Standard-Lorentztransformation nach S'
siehe 3 Folien in folgender Datei
vedVII_part.pdf
Nachdem die Angabe in den Folien unvollständig ist, ergänze ich sie um den Teil aus dem Nowotny-Skriptum: S und S' bewegen sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit v zueinander; einem bewegten Punktteilchen wird in S die Dreiergeschwindigkeit \vec{u} und im System S' die Dreiergeschwindigkeit \vec{u'} zugeordnet.

Wieder zurück zum Beispiel:
(u^\mu) = \gamma(u)(c,\vec{u}), (u'^\mu) = \gamma(u')(c,\vec{u'})

Gehe ich recht in der Annahme, dass NB: u^1 \ne (\vec{u})_x einfach heißen soll, dass u^1 = u_x usw. ?

Dann wissen wir noch: u'^\mu = \Lambda^\mu_\nu u^\nu

Augenscheinlich muss ich hier die Standard-Lorentztransformation (mit den Bedingungen von oben) verwenden:
\begin{pmatrix}u'^0\\ u'^1\\ u'^2\\ u'^3\end{pmatrix}=\gamma(u')\begin{pmatrix}c\\ u'_x\\ u'_y\\ u'_z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \gamma(v) & -\beta \gamma(v) & 0 & 0\\ -\beta \gamma(v) & \gamma(v) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u^0\\ u^1\\ u^2\\ u^3\end{pmatrix}=\gamma(u)\begin{pmatrix} \gamma(v) & -\beta \gamma(v) & 0 & 0\\ -\beta \gamma(v) & \gamma(v) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}c\\ u_x\\ u_y\\ u_z
\end{pmatrix}
wobei \beta = v/c

Und damit kommen wir auch schon zur Herumrechnerei (Matrixelemente vergleichen) und haben (exemplarisch für \mu=0):
u'^0 = \gamma(v)(u^0 - \beta u^1)
\gamma(u') c = \gamma(v)\gamma(u)(u^0 -\beta u^1) \rightarrow \gamma(u') c= \gamma(v)\gamma(u)(c -\beta u_x)

Kann das irgendwer bestätigen? Nachdem ich es abgetippt habe, bin ich mir jetzt zwar wieder sicher, dass es so passt (wie sollte es auch sonst gehen?), aber ich würde mich trotzdem über irgendeine Meldung freuen. Beim Edyn lernen vereinsamt man ja recht schnell ^^
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mäkki
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Re: VII.3 Relativistische Addition von Geschwindigkeiten

Beitrag von mäkki »

Ja, so stimmts eh. Man braucht ja nur die Darstellung der 4-er-Geschwindigkeiten, und dann die Lorentztransformationen der beiden Geschwindigkeiten.

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