IX.3.B Energie-Impuls-Tensor

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pat
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IX.3.B Energie-Impuls-Tensor

Beitrag von pat »

Ich hab leider zu meinem Entsetzen festgestellt, dass ich die Vierernotation irgendwie Nüsse verstehe... könnte mir bitte irgendjemand eine kleine Hilfe anhand der oben angesprochenen Herleitung geben?
Mein Problem scheint überhaupt bei Ko- und Kontravarianz zu liegen ](*,)

\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x_\mu} = \left( \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \vec{\nabla }\right) \;\;\;\;\; \partial^\nu = \frac{\partial}{\partial x^\nu} = \left( \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\vec{\nabla }\right) \;\;\;\;\; -\partial_\mu\partial^\mu = \box = \left(\Delta - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)
Das sollte ja soweit stimmen...

Laut Folien ergibt sich: \frac{1}{c}f^\mu=\frac{1}{4\pi c}F^{\mu\nu}\partial^\sigma F_{\sigma\na}=\frac{1}{4\pi c}\partial^\sigma\left(F^{\mu\nu}F_{\sigma\nu}\right)-\frac{1}{4\pi c}F_{\sigma\nu}\partial^\sigma F^{\mu\nu}\;\;(1)

So, jetzt mal das, was in den Folien steht und was ich nicht verstehe:
F_{\sigma \nu}\partial^\sigma F^{\mu\nu}= F_{\nu\sigma}\partial^\nu F^{\mu\sigma}=F_{\sigma \nu}\partial^\nu F^{\sigma\mu} = \frac{1}{2}F_{\sigma\nu}\left(\partial^\sigma F^{\mu\nu}+\partial^\nu F^{\sigma\mu}\right)
kommt aus den homogenen Maxwellgleichungen, die ich folgendermaßen anschreiben kann:
\partial^\sigma F^{\mu\nu}+\partial^\mu F^{\nu\sigma}+\partial^\nu F^{\sigma\mu}=0

Gut, obere Zeile kann ich mir jetzt mal (bis auf den letzten Term) irgendwie zusammenreimen als äquivalente Darstellung. So irgendwas mit Dummy-Indizes oder so...

Der letzte Teil der ersten Zeile müsste sich dann ganz einfach aus erster Zeile (äquivalente Darstellung) und Rüberbringen von \partial^\mu F^{\nu\sigma} auf die rechte Seite der zweiten Zeile ergeben: \rightarrow \partial^\sigma F^{\mu\nu}+\partial^\nu F^{\sigma\mu}= -\partial^\mu F^{\nu\sigma}
Stimmt das soweit?

So, dann hab ich jetzt mal -\frac{1}{2}F_{\sigma\nu}\partial^\mu F^{\nu\sigma}= +\frac{1}{2}F_{\sigma\nu}\partial^\mu F^{\sigma\nu}

Und hier ist dann der Punkt wo ich aussteige:
\frac{1}{2}F_{\sigma\nu}\partial^\mu F^{\sigma\nu}=\frac{1}{4}\partial^\mu\left(F_{\sigma\nu}F^{\sigma\nu}\right)

Kann ich jetzt einfach folgendes annehmen? Wird ja schon oben bei (1) in den Folien verwendet...
\partial^\mu \left(F_{\sigma\nu}F^{\sigma\nu}\right) = F_{\sigma\nu}\partial^\mu F^{\sigma\nu} + F^{\sigma\nu} \partial^\mu F_{\sigma\nu}

Aber wie jetzt weiter? Wohin verschwindet der zweite Term, wie bekomm ich das 1/2 hinein usw.

Die eigentlich wichtigen Fragen, mit denen ich mir dann vielleicht selbst helfen könnte, wären folgende:
Was ist F_{\mu\nu}? Mit F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu} ist mir ja nicht sonderlich geholfen? Ist das gleich dem dualen Tensor \hat{F}^{\mu\nu}?

Und was zur Hölle ist dann F_{\sigma}^{\;\nu} in den Grau-Folien? Ich weiß zwar, dass es mit dem metrischen Tensor erzeugt wird, aber das wars auch schon.

Wäre echt toll, wenn irgendjemand sich die Mühe machen könnte, mir diese sch...öne Notation (und vielleicht die wichtigsten Regeln) näherzubringen [-o<
Oder kommt Energie-Impuls-Tensor vielleicht gar nicht? (Ich las da mal was von Allgemeiner Relativitätstheorie...)

Bettelnde Admins haben Seltenheitswert... :wink:

P.S. Mit "Zitieren" kommt man leicht an die Formeln und muss sie nur kopieren und nicht selber tippen...
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mäkki
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Re: IX.3.B Energie-Impuls-Tensor

Beitrag von mäkki »

zu der dritten "rechenzeile" von dir:

zuerst du die indizes um, aus nü wird sigma, und aus sigma nü --> dann vertauscht du bei den einzelnen feldstärketensoren die indizes, was zweimal den Faktor (-1) ergibt (-1)(-1)=1. Jetzt siehst du dir in dieser dritten Rechenzeile den ersten und den dritten Ausdruck an. Beide beginnen mit F_sigma_nü. Du addierst beide Terme, und dividierst durch 2. Das erklärt das letzte gleichheitszeichen. Anschließend verwendet man die homogenen Maxwellgleichungen in der angegebenen Form.

Der Punkt "wo du anstehst" ist ziemlich gut in den Folien vom Grau enthalten. Im Wesentlichen einfach nur Hantieren mit dem Metriktensor usw. So kurz wie in den Folien kann man das nicht herleiten. :D

Was der Tensor mit oberen und unteren Index nun physikalisch bedeutet weiß ich nicht. Aber zum Rechnen ist er gut :D

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themel
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Re: IX.3.B Energie-Impuls-Tensor

Beitrag von themel »

Grundsätzlich ist eh alles ganz einfach, die Metrik ist g_{\mu\nu}, g^{\mu\nu} ist die inverse Metrik, im einfachen Minkowski-Fall haben beide die gleichen Komponenten.

Damit kann man zwischen Vektoren und Kovektoren transformieren, x_{\mu}=g_{\mu\nu}x^{\nu}, x^{\mu} = g^{\mu\nu}x_{\nu}. Für Tensoren funktioniert das genau gleich, nachdem Tensoren ja nur Linearkombinationen von Tensorprodukten von Vektoren sind. F_{\mu\nu} ist also F_{\mu\nu}=g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}F^{\rho\sigma}, und F_{\rho}^{\;\sigma}=g_{\rho\tau}F^{\tau\sigma}.

Kommen tut alles, was er nicht auf der Webseite ausgeschlossen hat, auch Sachen, die einem unwahrscheinlich erscheinen würden (die Einheitengeschichte aus Kapitel 1 zB).

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pat
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Re: IX.3.B Energie-Impuls-Tensor

Beitrag von pat »

Danke euch beiden!
Bin aber immer noch zu blöd, diesen einen Schritt zu verstehen...
Jetzt mach ich mal mit anderen Dingen weiter, irgendwann sickert es vielleicht.
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themel
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Re: IX.3.B Energie-Impuls-Tensor

Beitrag von themel »

Haha, ich hab' mir grad die Passage im Skriptum angeschaut, und da sind ja wohlige Erinnerungen wachgeworden - das war damals eine meiner Lieblingsformeln :)

Weils so schön war, siehe Attachment. Der Trick, der das \frac 1 2 produziert, der muss einem halt einfallen... :)
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pat
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Re: IX.3.B Energie-Impuls-Tensor

Beitrag von pat »

=D> Herzlichen Dank!
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