Elektrostatische Energie

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 07.03.2007, 22:27

Skriptum S. 42:
$W=\frac{1}{8\pi}\int\limits_V\vec E(\vec r)^2\ dV = \frac{1}{2}\int\limits_V\phi(\vec r)\varrho(\vec r)\ dV+\frac{1}{8\pi}\oint\limits_F\(\phi\vec\nabla\phi)\cdot\vec{dA}$

Kann mir irgendwer einen Tipp geben? Ich komm einfach nicht drauf, warum... die Erklärung ("Verwendung der Darstellung der Feldstärke als Gradientenfeld sowie der 1. Maxwell- bzw. der Poissongleichung") nützt mir auch nix - ich seh nicht, wo ich da die 1. Maxwellgleichung oder die Poissiongleichung einsetzen könnte. Ich komm beim Umformen nur bis
$W=\frac{1}{8\pi}\int\limits_V (\vec\nabla\phi)(\vec\nabla\phi)\ dV = \frac{1}{8\pi}\int\limits_V (\frac{d\phi}{dx})^2+(\frac{d\phi}{dy})^2+(\frac{d\phi}{dz})^2\ dV$ , aber nix von zweiten Ableitungen (die ich ja für die Poissongleichung brauchen würde)

themel · Beitrag von **themel** » 08.03.2007, 08:46

Dir fehlt vermutlich das, was in Prama II Green'sche Formel heißt und in Methoden als "Zweiter Satz von Green" bekannt war:

$\int_B u\Delta w - w\Delta u dV= \int _{\partial B} u \nabla w - w \nabla u d\vec A$

Herleitung: einfach $\nabla(s\vec v) = s\nabla\vec v + \vec v \nabla s$ nach dV integrieren, dann einmal $s=u$ und $v = \nabla w$ einsetzen und einmal $s=w$ und $v = \nabla u$ , voneinander abziehen, Satz von Gauß.

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 08.03.2007, 09:03

Hm ich vermute auch, dass man so einen Satz braucht, aber ich sehs immer noch nicht ganz. Was ist hier das u bzw. v?

themel · Beitrag von **themel** » 08.03.2007, 10:52

Alsdann, verfluchte TeX-Plackerei:

$W = \frac{1}{8\pi} \int_V d^3r \vec E(\vec r)^2 = \frac{1}{8\pi} \int_V d^3r \nabla \varphi(\vec r)^2$

Eigentlich braucht man dann die Greensche Formel gar nicht, sondern nur die einfache Divergenzformel aus der Herleitung.

$\nabla(s\vec v) = \nabla(s)\vec v + \nabla(\vec v)s \Rightarrow \int_{\partial V} d^2 \vec f s\vec v = \int_V d^3r \nabla(s)\vec v + \int_V d^3r s \nabla(v)$

Mit $s=\varphi$ und $\vec v = \nabla \varphi$ ist also

$\int_{\partial V} d^2 \vec f \varphi \nabla \varphi = \int_V d^3r \nabla\varphi^2 + \int_V d^3r \varphi \Delta \varphi$

Dann noch umgruppieren und eben Poisson einsetzen.

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 08.03.2007, 12:07

Danke... faszinierend, so macht man aus (1. Ableitung)^2 eine zweite Ableitung

PS: Im EDYN-Skriptum heißt's "1. Greenscher Integralsatz", Formel I.12a