Diverse Fragen

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Luchs
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Diverse Fragen

Beitrag von Luchs »

Hallo!
Ich versuche gerade EDyn nochmal durchzulesen und bin da auf diverse Fragen gestoßen:

1.)
In I.4.C (Folie 10) steht: In der Dynamik: Kontinuitätsgleichung, aber wegen 1. Maxwell: div(j+\frac{1}{k4\pi}\frac{dE}{dt})=0. Irgendwie folgt daraus scheinbar der 3. Maxwell mit Verschiebungsstrom. Wie????


2.)
In I.5.A (Folie 16) kommt man mit der Zeit auf \frac{k_1k_{2b}}{k_3^2k_{2a}}=L^2T^{-2} Das ist die Dimension von Geschwindigkeit zu Quadrat, aber wieso wird das dann einfach c^2 gesetzt?



3.)
In II.3:B (Folie 13) Wie kommt man auf die Formeln von D(causal) und D(antikausal)? (Die anderen beiden sind mir klar)


4.)
Wer kann in II.3.C (Folie 14) die uns ans Herz gelegte Übung (Zu beweisen dass \phi_{ret} und A_{ret} der Lorenz-Eichbedingung genügen?) lösen?



5.)
In III.2.C (Folie 20) Ist die Lösung für das Integral \frac{3}{4\pi R^3}\oint x\frac{1}{\vmatrix{r-r'}} angegeben.
In der VO haben wir das bewiesen. Wobei wir aber folgendes berechnet haben:
\frac{3}{4\pi R^3} \int R^2 \, d\Omega \, \frac{e_r e_z}{\vmatrix{r-r'}}
das e_r kommt vom Flächenintegral (das R^2 natürlich auch) e_z kommt irgendwie weil wir r' in e_z Richtung gesetzt haben. Aber woher genau kommt das? Auf die Weise erhalten wir ja ein Skalar, statt einem Vektor! Wie kann man überhaupt eine vektorielle Integration über ein Skalar machen? Und wie kommt es, dass das Ganze dann in Richtung von r' schaut? (vmatrix sollt ein Betrag werden. Ist aber scheinbar der falsche Befehl.)



So das war es erst einmal. Ich hoffe sehr, dass mir wer weiterhelfen kann und will.
Sonst bleib ich arm und dumm :(

rfc822
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Re: Diverse Fragen

Beitrag von rfc822 »

1.)
In I.4.C (Folie 10) steht: In der Dynamik: Kontinuitätsgleichung, aber wegen 1. Maxwell: div(j+\frac{1}{k4\pi}\frac{dE}{dt})=0. Irgendwie folgt daraus scheinbar der 3. Maxwell mit Verschiebungsstrom. Wie????
Recht unmitelbar:
div j+ div\frac{1}{k4\pi}\frac{dE}{dt}=0
div j=-div\frac{1}{k4\pi}\frac{dE}{dt}
und j ist der Verschiebungsstrom (weil an der Stelle ja kein "echter" Strom fließt, sondern nur eine Feldstärkenänderung dE/dt stattfindet)

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themel
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Beitrag von themel »

2.) ist mir zu mühsam im Moment, ich nehme aber an, die Zahlenwerte stehen in dieser Betrachtung nicht zur Diskussion (weil sie durch eine Form der Maxwellgleichungen, zB die im SI-System) ohnehin festgelegt sind.

3.) Ich würde das so interpretieren, dass da das Vorzeichen des Imaginärteils für \frac \omega c \to \pm |k| entscheidet, "ob der Kringel oben oder unten um die Singularität geht". Nachdem c und |k| positiv sind, sehe ich da eigentlich eine andere Zuteilung als auf den Rebhahn-Folien, wenn ich die Brüche umforme:

\tilde{D}_{ret} = \frac{4\pi} {k^2-(\frac \omega c + i\eta)^2} = \frac{4\pi} {k^2-\frac{\omega^2}{c^2} - 2\frac \omega c \eta i + \eta^2} = \frac{4\pi}{(k^2-\frac{\omega^2}{c^2} + \eta^2)^2 + 4 \frac{\omega^2}{c^2} \eta^2}(k^2-\frac{\omega^2}{c^2} + \eta^2 + 2\frac \omega c \eta i) =

Der Bruch im letzten Ausdruck ist rein rell und positiv, das Vorzeichen des Imaginärteils ist also bei \omega = +c|k| positiv und bei \omega = -c|k| negativ. Ich würde annehmen, dass daher die zugehörige Zeichnung eigentlich die ist, die bei D_c steht. Bei D_{av} ists das gleiche mit umgekehrten Vorzeichen. Im Gegensatz dazu ist

\tilde{D}_c =\frac{4\pi}{k^2-\frac{\omega^2}{c^2} - i\eta} = \frac{4\pi}{(k^2 - \frac{\omega^2}{c^2})^2 + \eta^2}(k^2-\frac{\omega^2}{c^2} +i\eta) das Vorzeichen des Imaginärteils konstant > 0.

Des Rätsels Lösung: Das Integral geht ja nicht über D, sondern über e^{i\omega t}, und es gilt ja Im(e^{i\omega t}) = -Im(e^{-i \omega t}) und Re(e^{i\omega t}) = Re(e^{-i \omega t}), damit drehen sich die Vorzeichen der Imaginärteile des Integranden bei \omega \to -c|k| nochmal um, und es sieht wie auf den Folien aus. Ich hoffe aber stark, dass es da eine elegantere Erklärung dafür gibt.

4. Ist eigentlich auch einfach, wenn man sich vor Augen hält, dass die Ausdrücke für A und \phi so wie sie dastehen ja Ergebnisse der retardierten Greenfunktion des Quabla-Operators sind, also zB (r' geht im TeX-Mode leider nicht :( ): \vec A(\vec r) = \frac 1 c \int d^3 \tilde r D_{ret}(|r-\tilde r|)\vec j(\tilde r)

Diese Trennung macht dann auch das Arbeiten mit den Differentialoperatoren viel einfacher:

\nabla \cdot \vec A(\vec r) = \frac 1 c \int d^3\tilde r \nabla_r D_{ret}(|r-\tilde r|)\vec j(\tilde r) =  \frac 1 c \int d^3\tilde r -\nabla_{\tilde r} [D_{ret}(|r-\tilde r|)]\vec j(\tilde r) =

\frac 1 c \int d^3\tilde r  \underbrace{\nabla_{\tilde r} [-D_{ret}(|r-\tilde r|)\vec j(\tilde r)]}_{0} + D_{ret}(|r-\tilde r|)\underbrace{\nabla_{\tilde r}\vec j(\tilde r)}_{-\dot\varrho(\tilde r)} = -\frac 1 c \int d^3 \tilde r D_{ret}(|r-\tilde r|)\dot\varrho(\tilde r) = -\frac 1 c \dot \phi(\vec r)

Das Divergenzintegral wird durch den Satz von Gauß ein Oberflächenintegral über den Rand des Raums, wo es wegen der natürlichen Randbedingungen verschwindet. So stelle ich mir das halt vor. Auf den vom Kollegen Rebhahn angesprochenen Zweizeiler fehlen wohl noch ein paar Kniffe, aber bis zur Prüfung ist ja noch Zeit.

5. Da wirst du dich wohl verschrieben haben. Ich habs in der Vorlesung nicht mitgeschrieben, ist aber in den Grau-Folien (Ergänzungsblätter Kap 1-5) vorgerechnet und eigentlich nicht sehr mysteriös.
Zuletzt geändert von themel am 12.04.2007, 12:39, insgesamt 1-mal geändert.

Luchs
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Beitrag von Luchs »

Hallo Thomas!

Zunächst einmal danke für die Hilfe!
Ad 3.) Ich glaube nicht, dass die Zeichnungen falsch zugeordnet sind, da wir D_ret in der Vo ja berechnet haben. Würde die Zeichnung von D_c zu D_ret geören, würde die Lösung anders aussehen.
Ich habe eher das Gefühl, dass das etwas mit der Partialbruchzerlegung zu tun hat (Vorzeichen des Imaginerteils, der unterm Bruch, für die einzelnen Nullstellen erscheint) aber ich kann D_c und D_ac nicht Partialbruchzerlegen.

Ad 1.) Das hab ich mir auch schon so gedacht, aber darf man die Divergenz einfach weglassen?

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flob
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Beitrag von flob »

zu 1) j ist nicht gleich \frac{1}{(k \cdot 4\pi)}\frac{dE}{dt} aber man sieht aus dem beispiel das man den term \frac{1}{(k \cdot 4\pi)}\frac{dE}{dt} als Strom auffassen kann und nennt ihn Verschiebungsstrom j_v. Im gegensatz dazu ist j ein "normaler" strom. in der maxwell gleichung müssen dann beide ströme berücksichtigt werden: div (j+j_v) = 0 und rot(B) = \frac{4\pi}{c}(j+j_v)

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ibi
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Beitrag von ibi »

Ich war mal so frei uns hab die Formeln tex-kompatibel gemacht.

@themel: Kannst Du die eine lange Formel irgendwie unterteilen? Man kann den Thread sonst schwer lesen ...
David Seppi

Gott ist theoretischer Physiker

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themel
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Beitrag von themel »

Zu 3) Nein, die Zuordnung im Skriptum stimmt schon so, weil wir ja nicht über D_x integrieren, sondern über e^{i \omega t} D_x.

EDIT: Irgendwas an dieser Argumentation ist aber noch ziemlich... fishy.

Luchs
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Beitrag von Luchs »

Die fischige Argumentation zu 3 verstehe ich leider nicht, ob fischig oder nicht. Leider habe ich keinen Plan, was du da von e^iwt faselst.
Die Losung zu dem "Zweizeiler" ist super. Da wär ich nie drauf gekommen. ich habs immer direkt probiert. Und ich glaube er ist zweizeilig genug :D

zu 5.)
Ich glaube nicht dass ich mich verschrieben habe, weil er irgendwas auch gesagt hat, was zu dem passen würde, was ich geschrieben habe, aber wahrscheinlich ist das Problem so trivial, dass du es gar nicht siehst. Sollte ich dich mal in der Fachschaft treffen, kann ich dir das Problem geauer darlegen, aber im Forum ist mir das zu kompliziert. Da müsst ich erst meine ganze Mitschrift eintippen.

Den Verschiebungsstrom hab ich auch noch nicht so ganz kapiert. Das kommt mir so handwaving vor.

Trotzdem: Danke an alle, die mir hier so hilfreich weiterhelfen.

Luchs
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Beitrag von Luchs »

Hallo!

Die Frage 5.) hat sich in der Zwischenzeit geklärt. sollte sich jemand für ein Erkärung interessieren, stehe ich gerne zur verfügung.

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themel
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Beitrag von themel »

Mich wuerds interessieren, weil ich wahrscheinlich endlich die Frage verstehe :)

Luchs
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Beitrag von Luchs »

Hallo Thomas!
Erklärs dir mal auf der Uni. Ist nicht so schwer, lässt sich aber leichter erklären, wenn mans aufzeichnet.
Katharina

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pat
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Beitrag von pat »

Wäre es eventuell möglich, eine Kopie davon ins Netz zu stellen? Für das Gemeinwohl ;)
Ich hab das Forum lieb, weil es schon so lange da ist und man auch Infos von höheren Semestern bekommt :)

calderson
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Re: Diverse Fragen

Beitrag von calderson »

Luchs hat geschrieben:Hallo!
Ich versuche gerade EDyn nochmal durchzulesen und bin da auf diverse Fragen gestoßen:

1.)
In I.4.C (Folie 10) steht: In der Dynamik: Kontinuitätsgleichung, aber wegen 1. Maxwell: div(j+\frac{1}{k4\pi}\frac{dE}{dt})=0. Irgendwie folgt daraus scheinbar der 3. Maxwell mit Verschiebungsstrom. Wie????


2.)
In I.5.A (Folie 16) kommt man mit der Zeit auf \frac{k_1k_{2b}}{k_3^2k_{2a}}=L^2T^{-2} Das ist die Dimension von Geschwindigkeit zu Quadrat, aber wieso wird das dann einfach c^2 gesetzt?



3.)
In II.3:B (Folie 13) Wie kommt man auf die Formeln von D(causal) und D(antikausal)? (Die anderen beiden sind mir klar)


4.)
Wer kann in II.3.C (Folie 14) die uns ans Herz gelegte Übung (Zu beweisen dass \phi_{ret} und A_{ret} der Lorenz-Eichbedingung genügen?) lösen?



5.)
In III.2.C (Folie 20) Ist die Lösung für das Integral \frac{3}{4\pi R^3}\oint x\frac{1}{\vmatrix{r-r'}} angegeben.
In der VO haben wir das bewiesen. Wobei wir aber folgendes berechnet haben:
\frac{3}{4\pi R^3} \int R^2 \, d\Omega \, \frac{e_r e_z}{\vmatrix{r-r'}}
das e_r kommt vom Flächenintegral (das R^2 natürlich auch) e_z kommt irgendwie weil wir r' in e_z Richtung gesetzt haben. Aber woher genau kommt das? Auf die Weise erhalten wir ja ein Skalar, statt einem Vektor! Wie kann man überhaupt eine vektorielle Integration über ein Skalar machen? Und wie kommt es, dass das Ganze dann in Richtung von r' schaut? (vmatrix sollt ein Betrag werden. Ist aber scheinbar der falsche Befehl.)



So das war es erst einmal. Ich hoffe sehr, dass mir wer weiterhelfen kann und will.
Sonst bleib ich arm und dumm :(
div[j+1/(4pik)+d/dt(E)] = div(j) +1/k+d/dt(div(E) , divE = 4pi*rho[/tex]

calderson
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Re: Diverse Fragen

Beitrag von calderson »

Luchs hat geschrieben:Hallo!
Ich versuche gerade EDyn nochmal durchzulesen und bin da auf diverse Fragen gestoßen:

1.)
In I.4.C (Folie 10) steht: In der Dynamik: Kontinuitätsgleichung, aber wegen 1. Maxwell: div(j+\frac{1}{k4\pi}\frac{dE}{dt})=0. Irgendwie folgt daraus scheinbar der 3. Maxwell mit Verschiebungsstrom. Wie????


2.)
In I.5.A (Folie 16) kommt man mit der Zeit auf \frac{k_1k_{2b}}{k_3^2k_{2a}}=L^2T^{-2} Das ist die Dimension von Geschwindigkeit zu Quadrat, aber wieso wird das dann einfach c^2 gesetzt?



3.)
In II.3:B (Folie 13) Wie kommt man auf die Formeln von D(causal) und D(antikausal)? (Die anderen beiden sind mir klar)


4.)
Wer kann in II.3.C (Folie 14) die uns ans Herz gelegte Übung (Zu beweisen dass \phi_{ret} und A_{ret} der Lorenz-Eichbedingung genügen?) lösen?



5.)
In III.2.C (Folie 20) Ist die Lösung für das Integral \frac{3}{4\pi R^3}\oint x\frac{1}{\vmatrix{r-r'}} angegeben.
In der VO haben wir das bewiesen. Wobei wir aber folgendes berechnet haben:
\frac{3}{4\pi R^3} \int R^2 \, d\Omega \, \frac{e_r e_z}{\vmatrix{r-r'}}
das e_r kommt vom Flächenintegral (das R^2 natürlich auch) e_z kommt irgendwie weil wir r' in e_z Richtung gesetzt haben. Aber woher genau kommt das? Auf die Weise erhalten wir ja ein Skalar, statt einem Vektor! Wie kann man überhaupt eine vektorielle Integration über ein Skalar machen? Und wie kommt es, dass das Ganze dann in Richtung von r' schaut? (vmatrix sollt ein Betrag werden. Ist aber scheinbar der falsche Befehl.)



So das war es erst einmal. Ich hoffe sehr, dass mir wer weiterhelfen kann und will.
Sonst bleib ich arm und dumm :(
div[j+1/(4pik)+d/dt(E)] = div(j) +1/k+d/dt(div(E) = 0 , divE = 4pi*rho

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