Diverse Fragen

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Gregor
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Beitrag von Gregor »

Du hast natürlich recht, pardon. Dachte die ganze Zeit an ein Potential im Sinne des "richtigen" Gradienten, nicht eines
\nabla_t.
Also ja - das Zwischenspiel scheint mir für die am Ende des Abschnitts gebrachte Argumentation entbehrlich zu sein.

Cg

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ManuelO
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Registriert: 09.10.2006, 16:07

Beitrag von ManuelO »

Kurze Frage zu S30, der div(ExB)...

Das folgt ja aus B rot E - E rot B...

Wenn ich jetzt von der div ausgehe, muss ich da einfach so eine Art Produktregel anwenden um auf die 2. Zeile zu kommen bzw wie mach ich das in Indexschreibweise?

mfg

Luchs
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Registriert: 06.01.2007, 11:22

Beitrag von Luchs »

Ich weiß zwar nicht genau wovon du sprichst, aber das kann nicht richtig sein.: ExB ist ein Vektor. Die Divergenz davon ein Skalar. Deine zweite Zeile ergibt aber einen Vektor.

Hier ist die Herleitung in Indexschreibweise:
j_i \cdot E_i=(\frac{c}{4 \pi}\varepsilon_{ijk} d_j B_k-\frac{1}{4 \pi}\dot{E}_i)E_i
(Hier wurde Maxwell mit rotor B eingesetzt)
=\frac{c}{4 \pi}\varepsilon_{ijk} d_j B_k-\frac{1}{4 \pi}\dot{E}_i)E_i+(-\frac{c}{4 \pi}\varepsilon_{ijk} d_j E_k-\frac{1}{4 \pi}\dot{B}_i)B_i
(Hier wurde Max mir rotor E eingesetzt und mit B multipliziert (0*B=0, passt also immer noch))
Jetzt Klammern ausmultiplizieren. Die Terme mit den Zeitableitungen flogendermaßen umformen:
\dot{E}_iE_i=\frac{1}{2}\dot{(E_iE_i)}
bleibt noch:
(\varepsilon_{ijk} d_j B_k)E_i - (\varepsilon_{ijk} d_j E_k)B_i
=\varepsilon_{ijk}(d_j B_k) E_i - \varepsilon_{kji} (d_j E_i) B_k
Hier wurden im zweiten Term die Indices so vertauscht, dass E und B jeweils den gleichen Index hat, wie im ersten Term (Indices über die summiert wird darf man ja beliebig nennen)
=\varepsilon_{ijk}(d_j B_k) E_i + \varepsilon_{ijk} (d_j E_i) B_k
Hier wurde die Reihenfolge vom Kreuzprodukt umgedreht, daher Vorzeichenwechsel
\varepsilon_{ijk} d_j (E_i B_k)

Und schon bist du beim Ziel. Anmerkung: Alle d sollten partielle Ableitungen sein. Das ist aber zu mühsam zum schreiben.

Luchs
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Beitrag von Luchs »

Hab gleich selber noch weitere Fragen:

erstens:
Wer hat verstanden, wieso (c\rho, \vec{j}) kovariante komponenten eines Verervektorfeldes sind? (S.h. Folien)
Wieso ausgerechnet kovariant und wer sagt mir, dass j^\nu j_\nu unabhängig vom System S ist? Um genau zu sein: Das ist ja gar nicht so. Das is ja das gleiche wie ein \rho \gamma v^\nu, und das ist von \gamma abhängig.
Was hab ich da falsch verstanden?

zweitens:
Skriptum Seite 135. Wie komm ich drauf, dass der duale Tensor (dass das mit Dualraum nichts zu tun hat weiß ich schon) von F genau so ausschaut. (Ich sehe nicht, wie 17b so einfach auf 17 a resultiert)

drittens:
Wieso ist 18a äquivalent zu den homogenen Max? Hab versucht es herzuleiten, bin aber gescheitert.

viertens: (Jetzt wirds leicht)
Sehe ich das richtig: F_{ij}F^{ij} ist ein lorenzskalar, weil sich F nur aus Vierervektoren aufbaut und F daher mit der Lorenztransformation transformiert werden kann?
Und: Einen Vierervektor kennzeichnet, dass er mit der Lorenztransformation transformiert werden kann und sein inneres Produkt folglich invariant ist.

fünftens:
Möchte auf noch unbeantwortete Frage auf Seite 2 verweisen. (Betreffend Plenum)

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themel
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Beitrag von themel »

Zu erstens: Also in meinen Folien (IX.1.A) ist die Rede von kontravarianten Komponenten (was ich auch logischer finden wuerde, weil der Index ja gewoehnlich oben steht. Woher hast du das \varrho \gamma u^{\mu}? Imo ist der Viererstrom nur \varrho u^{\mu}, und damit ein Vierervektor, wenn die Vierergeschwindigkeit einer ist.

Zu zweitens: Die Überschiebung kann man sich aufgrund der Definition relativ einfach ausrechnen, warum man genau das "den zu bla dualen Tensor" nennt weiss ich auch nicht. Ich merke mir "E wird zu B, B wird zu -E" als Shortcut.

Zu drittens: Ist eigentlich nicht sonderlich schwer, du brauchst ja nur einzusetzen, siehe Attachment.

Zu viertens: IMO weitgehend was du geschrieben hast. Die Vierervektoreigenschaft ist ueber die Invarianz des Skalarprodukts unter Lorentztransformation definiert. IMO ist sie auch irgendwie ueber lineare Operationen erhalten, dh zB das Tensorprodukt zweier Vierertensoren ist wieder ein Vierertensor. Allerdings kann ich das grade nicht beweisen.

Fünftens: x^{\mu} ist der Einheitsvektor in x-Richtung, \tilde x^{\mu} ist der Einheitsvektor in x'-Richtung. Wenn du koordinatenweise nachrechnen willst, transformierst du einen der beiden in das System des anderen und berechnest dort das innere Produkt mit der Minkowskimetrik, es kommt -\gamma raus.
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ManuelO
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Beitrag von ManuelO »

@ luchs: ich meinte die zweite zeile in meinem posting, nicht im buch, hab mich missverständlich ausgedrückt...

aber danke für die antwort, jetzt weiß ich wie man auf diese produktregel mit indexvertauschung kommt...

Luchs
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Beitrag von Luchs »

ad erstens:

\rho_{ruhe}\cdot v^\nu=j^\nu und \rho_{ruhe}=\gamma\cdot\rho

ad rest:
Vielen Dank fürs Fragen beantworten! auf H^0 bin ich irgendwie nicht gekommen

Hab gleich dazupassend zwei weitere Fragen:

zweitens:
Bin mir meiner etwas Verwaschenen Herleitung von Formel IX.19 nicht ganz sicher, und wüsste gern wie du das machst

drittens:
Stimmt es dass folgendes gilt?:
a_\nu a^\nu =a_0 a_0 - \vec{a}\vec{a}
aber:
d_\nu a^\nu= d_0 a_0 + div(\vec{a})
(Man beachte die Vorzeichen)

viertens:
Skriptum Seite 139, Formel 38: Hier wird eine f^0 Komponente eingeführt. Für F^0 müsste aber doch gelten: F^0=\gamma \frac{d}{dt}\frac{E}{c}.
Erfüllt Gleichung 38 diese Bedingung?

Habe viertens gerade selber beantwortet. Bin auch schon blöd (so ich es nicht schon immer war :wink: ) geht ganz einfach mit Energiebilanz. Muss ja so sein!

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themel
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Beitrag von themel »

Zu erstens: Ich werd's mir bei Gelegenheit nochmal anschauen, ich bin mittlerweile auch schon ein wenig verwirrt. Ladungsdichte und Stromdichte sind insofern ein wenig gefaehrlich, weil sie ja nicht als "eigenstaendige" Felder sondern als 3-Formen mit den zugehoerigen (dx,dy,dz) definiert sind. Ich tendiere grade dazu, die Ruheladungsdichte als Viererskalarfeld anzusehen, weshalb dann auch das Produkt aus dem Viererskalarfeld und dem Vierervektorfeld der Vierergeschwindigkeit ein Vierervektorfeld sein sollte, aber das muss ich nochmal nachrechnen.

Zu zweitens: Siehe Attachment, ist nur einsetzen und Satz von Schwarz.

Zu drittens: Es gilt folgende Regel, die ich in meinem Attachment zu den homogenen Maxwellgleichungen auch gleich elegant vergessen habe: Wenn ein kontravarianter Index mit einem kovarianten Index ueberschoben wird, dann darf man die Komponenten einfach multiplizieren/aufsummieren und erhaelt tatsaechlich das richtige Skalarprodukt. In allen anderen Faellen muess man vorher den Metriktensor anwenden. Man kriegt relativ einfach ein Gefuehl dafuer, wenn man sich einmal in einem gewoehnlichen zweidimensionalen Vektorraum eine nichtorthogonale Basis und die zugehoerige duale Basis aufstellt, dann den Metriktensor ausrechnet und versucht, auf die verschiedenen Arten auf die inneren Produkte zu kommen. Wir haben das irgendwann im Lernraum an der Tafel gemacht, ich hab's mir aber nicht aufgeschrieben. Ich behaupte nicht, die Mathematik dahinter vollstaendig verstanden zu haben, aber es funktioniert :)

In dem von dir beschriebenen Fall, der mich anfaenglich auch verwirrt hat, geht das genauso. Wir kennen a^{\mu}=(a^0, a^1,a^2,a^3), und a_{\mu}=(a_0, a_1, a_2, a_3), mit der Minkowski-Metrik wegen a_{\mu}=g_{\mu\nu}a^{\nu}=(a^0, -a^1, -a^2, -a^3). Wenn du komponentenweise multiplizierst und aufsummierst, ergibt sich, egal ob man \vec a = (a_1,a_2,a_3) oder \vec a = (a^1, a^2, a^3) definiert, das Ergebnis mit dem Minus.

Wenn wir aber schon die kovarianten Komponenten von \partial_{\mu} kennen, dann wird nur mehr komponentenweise gerechnet, also auch kein Minus, daher die Plus-Divergenz.
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ManuelO
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Beitrag von ManuelO »

ich seh schon, muss noch einiges aufholen:/

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mikasa
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Registriert: 16.11.2006, 16:03

invarianten des felstärketensors

Beitrag von mikasa »

hey!

ich hätte eine frage über die invarianten des felstärketensors bei einer lorentztransformation. Wie kann man sich die zwei invarianten ausrechnen?
wär super wenn mir jemand noch vor montag zurückschreiben könnte :)

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themel
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Beitrag von themel »

Was genau ist deine Frage, wie man auf die Invarianten kommt oder wie man ihre Werte berechnet?

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mikasa
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Beitrag von mikasa »

also ich weiss nicht wie man auf die invarianten kommt und auch nicht wie man die werte berechnet :?

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themel
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Beitrag von themel »

Zur Berechnung der Werte via Matrixmultiplikation siehe Attachment. Dass die Werte invariant sind folgt aus der Tensoreigenschaft des Feldstaerketensors - jeder Skalar, der durch (metrisch korrekte, also je ein kovarianter Index pro kontravariantem Index) Ueberschiebung eines Tensors entsteht, ist automatisch invariant. Es gibt natuerlich noch ein paar andere Moeglichkeiten, den Feldstaerketensor mit sich selber zu ueberschieben, die geben aber bis auf Skalenfaktoren das gleiche Ergebnis.

Viel Spass am Montag :)
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mikasa
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Beitrag von mikasa »

ein großes dankeschön für dich :D

byte
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Registriert: 09.01.2007, 17:41

Beitrag von byte »

Zum Ablauf der Prüfung:

Werden in erster Linie nur die Rechnungen aus dem Skript und von den Folien verlangt, oder sollte man sich noch zusätzlich theoretisches Wissen aus anderen Büchern aneignen?

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