D'Alembert-Green-Funktion / dualer Feldtensor / Wirkung

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rfc822
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D'Alembert-Green-Funktion / dualer Feldtensor / Wirkung

Beitrag von rfc822 »

Beim Durcharbeiten des EDYN 1-Stoffs sind einige Fragen aufgetreten. Hier mal die ersten :D

1. Green-Funktion des D'Alembert-Operators (II.3.B f)
Wie man auf D(\vec k,\omega) kommt, ist mir noch klar. Dann werden verschiedene Integrationswege für die Polstellen gezeigt, wobei 4x die komplexe Ebene verwendet wird und 1x der Cauchy'sche Hauptwert.

Woher weiß ich, was die einzelnen Green-Funktionen tun? Gut, bei D_{\rm ret} ergibt sich im (r,t)-Raum eine Funktion, die ein retardiertes Potential erzeugt und D_{\rm av} macht physikalisch keinen Sinn (Potential würde der Ladung vorauslaufen und die Kausalität verletzen). Was aber passiert bei D_{\rm c} und D_{\rm ac}?

Außerdem ist mir die Integration von II.(38) auf II.(39) nicht klar. Welcher Cauchysche Integralsatz ist gemeint?


2. Dualer Feldstärke-Tensor / homogene Maxwell-Gl (IX.1.C)
Laut IX.(15) gilt \partial_\mu F^{\mu\nu} = \frac{4\pi}{c} j^\nu, d.h. im quellenfreien Fall (j^\mu = (0,0,0,0)^T) gilt \partial_\mu F^{\mu\nu} = 0^\nu. Wozu dann die umständliche Schreibweise IX.(18a) bzw. IX.(19)?


3. Lagrange-Formalismus (X.2.B)
Warum muss die Wirkung bzw. Lagrange-Funktion Lorentz-invariant sein? Würden sich sonst in verschiedenen Systemen Bahnen ergeben, die miteinander nicht über die Lorentz-Transformation verknüpft und somit falsch wären?

Bei X.(36) ist mir nicht klar, wie ich \frac{\partial}{\partial(\partial^\nu A^\mu)} \left[ (\partial_\nu A_\mu - \partial_\mu A_\nu) (\partial^\nu A^\mu - \partial^\mu A^\nu) \right] rechne. Muss ich da die Indexstellung oben/unten beachten? Wonach leite ich genau ab? Es muss wohl irgendein Faktor 4 rauskommen.

Mario23
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Re: D'Alembert-Green-Funktion / dualer Feldtensor / Wirkung

Beitrag von Mario23 »

Add 1:
Die 2., 3., 4., 5 Lösung sind rein mathematisch (und wahrscheinlich der Vollständigkeit halber angeführt).
Mit "Cauchysche Integralsatz" ist wohl der Residuen-Satz gemeint (immerhin hast du im Integral ein Gebiet mit 2 isolierten Singularitäten), und auf Seite 28 unten sind ja auch die Wege der Integration.

Add 2:
* In IX.(15) ist die verallgemeinerte Form der IN(!)homogenen Maxwellgleichungen (eben mit Quelltermen) gegeben.
* In IX.(18a) ist die verallgemeinerte Form der homogenen Maxwellgleichungen (OHNE Quellen) gegeben - daher auch der duale Feldstärketensor.
* In IX.(19) sind die homogenen (!) Maxwellgleichungen mit dem EM-Feldstärketensor gegeben - also ohne den dualen FS Tensor benützen zu müssen.
Wie beschrieben wird, ist diese Form der Maxwellgleichungen (und auch der FS-Tensor selbst) sehr redundant.

Add 3:
Sowei ich weiß: Die Invarianz folgt aus dem Noether-Theorem (siehe QFT1 Skript von Schweda - http://tph.tuwien.ac.at/skripten/qft_script.pdf).
Fürs Ableiten schaust du am Besten im selben Skript im Kapitel 2.4.3 unter "Klassische Feldtheorie" - da is die Euler-Lagrange Gleichung mit Feldstärketensor besser beschrieben.

ich hoffe das hat geholfen!

gruß,
Mario

rfc822
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Re: D'Alembert-Green-Funktion / dualer Feldtensor / Wirkung

Beitrag von rfc822 »

Habe noch Folgendes herausgefunden:

1. Alle 4 Lösungen ergeben sich, wenn man die Gleichung nach dem angegebenen Verfahren zurücktransformiert. Die Sigma-Funktion und die Auswahl der verwendeten Delta-Funktion (also der retardierten) erfolgt nicht aus mathematischen, sondern nur aus physikalischen Gründen. Details zur Rechnung

3. Hier habe ich nicht bedacht, dass die Lagrange-Funktion nur die Legendre-Rücktransformation der Hamilton-Funktion ist, d.h. bei lorentz-invarianten Hamilton-Funktionen ist auch die Lagrange-Funktion lorentz-invariant. Diese wiederum folgt aus Symmetrien und dem Noether-Theorem.

rfc822
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Re: D'Alembert-Green-Funktion / dualer Feldtensor / Wirkung

Beitrag von rfc822 »

Die Antwort auf die zweite Teilfrage der Frage 3 findet sich hier:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/ ... _id=789764

Man muss den Maßtensor verwenden, um alle Indizes nach oben zu bekommen. Dann drückt man die Existzenz der Ableitung durch Deltas aus, vertauscht die Indizes gemäß Symmetrie des Maßtensors und Antisymmetrie des Feldstärketensors und kommt dann irgendwann endlich auf den Faktor 4.

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