Darwin-Term

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pat
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Darwin-Term

Beitrag von pat »

Da anscheinend der Darwin-Term von niemanden gerne zur Gänze hergeleitet wird, hätte ich mal eine Frage zu Seite 40, (3.64) im Faber/Leeb-Skriptum:

Zur Verfügung stehen folgende Angaben:
\Delta E_D = \left( \frac{\hbar}{\mu c}\right)^2 \frac{\pi Z\alpha_f\hbar c}{2}|\psi_{_{N,l,m_l}}(0)|^2 = \left( \frac{\hbar}{\mu c}\right)^3 \frac{\mu c^2}{2}\frac{Z\alpha_f}{a^3}\delta_{l0}

\psi_{_{N,l,m_l}}(r)=\frac{2}{\sqrt{Nn!(N+l)!a^3}}\left(\frac{2r}{a}\right)^l L_n^{(2l+1)}(2r/a) e^{-r/a}Y_{l,m_l}\n

L_n^{(2l+1)}(0)=(n+2l+1)!/(2l+1)!

Y_{00}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}

Also ich verstehe den einen Teil mal so Y_{l,m_l}=Y_{00}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}. Das versteht man ja noch.

Die Frage ist jetzt: kann ich das \delta_{l0} auf alle l in der Wellenfunktion anwenden? Andernfalls hätte ich an der Nullstelle ja ein kleines Problem mit 0^l (das ich allerdings sowieso habe, aber einfach mal damit argumentiere, dass ich zuerst das \delta_{l0} anwende und dann erst den Wert von r einsetze).
Dann käme ich nämlich mit N=n+l+1 auf

\psi_{_{N,l,m_l}}(r)=\frac{2}{\sqrt{(n+1)!l!(n+2l+1)!a^3}}\left(\frac{2r}{a}\right)^l L_n^{(2l+1)}(2r/a) e^{-r/a}Y_{l,m_l}\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}

Delta anwenden und danach Nullstellen einsetzen
\psi_{_{N,l,m_l}}(r)= \frac{2}{\sqrt{(n+1)!(n+1)!a^3}}\left(\frac{2r}{a}\right)^0 L_n^{(1)}(2r/a) e^{-r/a}\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}\\
= \frac{2}{\sqrt{(n+1)!(n+1)!a^3}} (n+2l+1)!/(2l+1)! \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}

Delta nocheinmal anwenden
\psi_{_{N,l,m_l}}(r)= \frac{2}{\sqrt{(n+1)!(n+1)!a^3}} (n+1)!/(1)! \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}\\
=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}
(Dieses Zwischenergebnis gibt er mit den Formeln 2-4 ohne weitere Rechnung an)

Damit würde ich dann tatsächlich auf das Ergebnis in der ersten Zeile kommen, allerdings mit mehrmaliger Anwendung von \delta_{l0} und mit Ignorieren von \delta_{m_l 0}.

Hat irgendwer einen Vorschlag, wie ich das Problem handhaben könnte?
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themel
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Re: Darwin-Term

Beitrag von themel »

Also deiner Rechnung oben kann ich nicht so direkt folgen, aber im Prinzip dreht sich deine Frage ja um den Betrag der Wellenfunktion am Ursprung. Nachdem du da drin ein \left( \frac{2r}{a}\right)^l stehen hast (und alle anderen Terme an 0 auch "brav" sind) kann das an r=0 nur für l=0 einen Beitrag liefern, daher schreibt man es halt mit diesem Delta, mehr Herleitung würde ich mir da gar nicht antun.

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pat
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Re: Darwin-Term

Beitrag von pat »

Das ist ja gerade das, was mich wundert. Er scheint explizit von einer Rechnung auszugehen, da er mit diesen 3 Formeln hier
gracvaloth hat geschrieben:\Delta E_D = \left( \frac{\hbar}{\mu c}\right)^2 \frac{\pi Z\alpha_f\hbar c}{2}|\psi_{_{N,l,m_l}}(0)|^2 = \left( \frac{\hbar}{\mu c}\right)^3 \frac{\mu c^2}{2}\frac{Z\alpha_f}{a^3}\delta_{l0}

\psi_{_{N,l,m_l}}(r)=\frac{2}{\sqrt{Nn!(N+l)!a^3}}\left(\frac{2r}{a}\right)^l L_n^{(2l+1)}(2r/a) e^{-r/a}Y_{l,m_l}\n

L_n^{(2l+1)}(0)=(n+2l+1)!/(2l+1)!
auf ein Zwischenergebnis kommt, in dem beide Deltas ausgewiesen sind:
\psi_{_{N,l,m_l}}(0)= \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}
Das Delta müsste also tatsächlich aus einer Umformung Y_{l,m_l}=Y_{00}\delta_{l0}\delta_{m_l 0} stammen, insbesondere, weil er noch dazu den Wert Y_{00} =\frac{1}{\sqrt{4\pi}} angibt.

Was ich mich eben frage: ist es legitim, das Delta in einer beliebigen Reihenfolge anzuwenden (siehe meine "konfuse" Rechnung)? Ohne Delta vor dem Einsetzen der Nullstelle hätte ich zuerst ein 0^l, was mir die Rechnung schrotten würde. Oder liegt es daran, dass er die Angabe des Laguerre-Polynoms nur als Hinweis sieht, es aber in der Form (ohne Wirken von Delta auf das l) nicht in der Rechnung verwendet?

Dann die letzte Frage: was passiert mit \delta_{m_l 0}? Brauch ich nicht mehr, lass ich weg?!
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themel
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Re: Darwin-Term

Beitrag von themel »

Ach, du willst das 0^l nicht? Aber das ist doch gerade der Ursprung der Deltas im Ergebnis!

Ich würde als erstes auf den Punkt 0 spezialisieren, dann ergibt sich \left(\frac{2r}{a}\right)^l = \delta_{l0}. Das \delta_{m_l0} kommt dann aus Y_{0{m_l}} \propto \delta_{0 m_l} (bekanntlich ist ja nur Y_{00} von Null verschieden, deshalb wirds wohl auch im Ergebnis weggelassen - formal müsste es da sein, aber für betriebsblinde Physiker macht es keinen Unterschied, weil sie den Operator nie auf eine Wellenfunktion mit m_l > l anwenden würden :)).

Zum Ursprungsposting: Dein Y_{l,m_l}=Y_{00}\delta_{l0}\delta_{m_l0} ist zumindest entweder Blödsinn (zumindest für allgemeine Argumente, es schaut aus als ob du 0 als Index im Sinne der Summationskonvention verwendest), oder irrelevant, ich denke also, dass das Problem in deinem Verständnis da irgendwo liegt.

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pat
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Re: Darwin-Term

Beitrag von pat »

themel hat geschrieben:Ich würde als erstes auf den Punkt 0 spezialisieren, dann ergibt sich \left(\frac{2r}{a}\right)^l = \delta_{l0}. Das \delta_{m_l0} kommt dann aus Y_{0{m_l}} \propto \delta_{0 m_l} (bekanntlich ist ja nur Y_{00} von Null verschieden, ...
Aaaaah, das erklärt natürlich einiges! Dann kann ich meine Summenkonvention wirklich streichen. Den "Blödsinn" kannst du noch unterstreichen und rot färben ;)

Danke, wieder was erledigt!
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