3. Tutorium am 19. Oktober 2007

ibi · Beitrag von **ibi** » 15.10.2007, 14:27

Um die alte Tradition wieder herzustellen stell ich mal 1a und 1b rein:
(© Krümelchen & David)

1a)

$\Psi_I = A_1 e^{ik_1 x} + B_1 e^{-ik_1 x}$

$\Psi_{II} = A_2 e^{ik_2 x} + B_2 e^{-ik_2 x}$

Anschlußbedingungen:

$\Psi_I (0) = \Psi_{II} (0) --> A_1 + B_1 = A_2 + B_2$

$\frac{\partial}{\partial x}\Psi_I (0) = \frac{\partial}{\partial x}\Psi_{II} (0) --> A_2 - B_2 = (A_1 - B_1) \frac{k_1}{k_2}$

Einsetzen und umformen ergibt:

$A_2 = \frac{1}{2} (A_1 (1+\frac{k_1}{k_2}) + B_1 (1-\frac{k_1}{k_2}))$

$B_2 = \frac{1}{2} (A_1 (1-\frac{k_1}{k_2}) + B_1 (1+\frac{k_1}{k_2}))$

$M = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\frac{k_1}{k_2} & 1-\frac{k_1}{k_2} \\ 1-\frac{k_1}{k_2} & 1+\frac{k_1}{k_2} \end{pmatrix}$

Dispersionsrelation:

$k_1 = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$

$k_2 = \sqrt{\frac{2m(E - V_0)}{\hbar^2}}$

Die Lösung schaut eigentlich richtig aus, weil in der VO das gleiche rausgekommen ist.

Dank mode funktioniert auch b:

$R = \frac{\left| j_{ref}\right|}{\left|j_{ein}\right|} = \left| \frac{B_1}{A_1}\right|^2$

$B_2 = 0 --> A_1 (1-\frac{k_1}{k_2}) + B_1 (1+\frac{k_1}{k_2}) = 0$

$\frac{B_1}{A_1} = - \frac{1-\frac{k_1}{k_2}}{1+\frac{k_1}{k_2}} = - \frac{k_2-k_1}{k_2+k_1}$

$R = (\frac{k_2-k_1}{k_2+k_1})^2$

$\frac{\left| j_{trans}\right|}{\left|j_{ein}\right|} = \frac{k_2}{k_1} \cdot \left| \frac{A_2}{A_1}\right|^2$

$A_1 + B_1 = A_2$

$A_2 = A_1 + B_1 = A_1 + A_1 \frac{B_1}{A_1} = A_1 - A_1 \frac{k_2-k_1}{k_2+k_1} = A_1 (1 - \frac{k_2-k_1}{k_2+k_1}) = A_1 \frac{2k_1}{k_2 + k_1}$

$\frac{A_2}{A_1} = \frac{2k_1}{k_2 + k_1}$

$T = \frac{k_2}{k_1} \cdot \left| \frac{A_2}{A_1} \right|^2 = \frac{k_2}{k_1} \cdot \frac{4{k_1}^2}{(k_2+k_1)^2} = \frac{4k_1 k_2}{(k_2 + k_1)^2}$

$T + R = \frac{4k_1 k_2}{(k_2 + k_1)^2} + (\frac{k_2-k_1}{k_2+k_1})^2 = \frac{k_2^2 - 2k_2 k_1 + k_1^2 + 4k_2 k_1}{(k_2+k_1)^2} = \frac{(k_2+k_1)^2}{(k_2+k_1)^2} = 1$ q.e.d

Beitrag von **pat** » 15.10.2007, 14:29

Wow, fleißig. Werd dummerweise diesen Freitag mein erstes Streichresultat in Anspruch nehmen (müssen). Sch... Edyn.

Im Anhang wieder mal die Angabe.

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 15.10.2007, 17:53

Bsp 2 gibts auf http://www-stud.uni-essen.de/~sb0264/QMILoesungen05.pdf (Aufgabe 19)

mode · Beitrag von **mode** » 15.10.2007, 19:17

Vor den Amplituden gehört noch die jeweilige Wellenzahl k. Schau dir mal die Definition von j an.

Hoffe das löst das Problem.

ibi · Beitrag von **ibi** » 15.10.2007, 19:35

Hm, in der Vorlesung kürzt sich die raus.

Allerdings war da $j_{trans}$ und $j_{ein}$ auf gleichem Potential ...
Langsam klingelts, danke!

ibi · Beitrag von **ibi** » 15.10.2007, 20:05

So, 1b steht jetzt auch richtig oben.
Da Beispiel 2 schon reingstellt worden ist fe lt nur noch die Dispersionsrelation für 1a, für die ich jetzt aber zu faul bin.

Beitrag von **pat** » 15.10.2007, 20:46

Super... und ich muss den sch Edyn-Nachtest machen. Wieder 4 Punkte hergeschenkt

rfc822 · Beitrag von **rfc822** » 15.10.2007, 21:09

gracvaloth hat geschrieben:Super... und ich muss den sch Edyn-Nachtest machen. Wieder 4 Punkte hergeschenkt

Ist der zur gleichen Zeit wie die Übung? In dem Fall würd ich die Beispiele einfach vorher dem Tutor/der Tutorin zeigen oder per Email schicken?

ibi · Beitrag von **ibi** » 15.10.2007, 21:24

Wieso wieder? Hast vorher schon mal geschwänzt?

I hab leider beide Streichresultate schon konsumiert. In der 1. Übung war i ned (Ana II) --> 0 Pte und in der 2. hab ich nur ein Beispiel angekreuzt, weil ich danach Statistikprüfung gehabt habe.

ibi · Beitrag von **ibi** » 16.10.2007, 12:26

So jetzt sollt alles passen.

kruemelchen · Beitrag von **kruemelchen** » 17.10.2007, 16:36

hey ho!

um davids anstrengungen mal fortzuführen....
2a_b-----könnt ihr uns vielleicht sagen wie 2b fortgesetzt werden soll????...irgendwie..wird des ned so recht der schluss

PS. is seh grad...eigentli sollte des a ein q sein...da hab i mi vertippt...

Carlos DeAndrade · Beitrag von **Carlos DeAndrade** » 17.10.2007, 18:04

schau dir mal das bsp von der dritten übung letztes jahr an, da war exakt das gleich beispiel, vielleicht hilft euch das weiter!
(gibts irgendwo hier zum downloaden)
lg

(Link - der Admin)

Origin · Beitrag von **Origin** » 18.10.2007, 10:44

hallo krümelchen!
bei bed. d) wird b2 mit b3 gleichgesetzt u gekürzt
wieso ist b2=b3 ?

schachwurzn · Beitrag von **schachwurzn** » 18.10.2007, 15:05

@ krümelchen: wie weiter?
Du hast da so was stehen wie -k/D ~ sin 2ka. D.h k=0 (E=0) ist eine Lösung??
(Hast du nicht ein i untern Tisch fallen lassen?! Wenn ich das mit Wellenansätzen rechne, krieg ich von der 1.Ableitung und der Deltafkt eine Gleichung mit Koeffizienten D/(ik).)

Von wegen Wellenansätze: ich glaub 'normale' Exponentialfkt sind eher am Platz. Wir haben ein konstantes Potential und zwei negative Deltas. Gebundene Zustände können nur eine negative Energie haben was zu reellem $\kappa$ $( \kappa = \sqrt{ \frac{-2mE}{ \hbar ^{2} } })$ bzw $\psi \approx exp( \kappa x)$ führt.

m0tzerl · Beitrag von **m0tzerl** » 18.10.2007, 17:55

jop, du musst eine negative energie annehmen (gebundener zustand). damit ist V > E und die allgemeine Lösung der schrödinger-gleichung durch a*e^kx+b*e^-kx gegeben, wobei ich mit k kappa meine.