Mach ich halt einen separaten Beitrag draus (die anderen Teile vom 1. Beispiel füge ich als Änderungen hier ein. Kann aber einfach nicht sonderlich schnell LaTeX tippen).
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an,
(a) Bei einer Messung der z-Komponente des Gesamtspins den Wert 0 zu messen.
Okay, in unserer Angabe haben wir
Das Ganze ist angegeben in der Basis des Gesamtspins
. Wir wollen für die z-Komponente den Messwert 0, schlagen also auf Seite 93 des Skriptums unsere beiden bekannten Formeln für das Quadrat und die z-Komponente des Messwertes nach:
(5.11)
Damit das 0 ist, muss gelten
, was bei uns soviel heißt wie
und das trifft laut Angabe einfach in 50% der Fälle zu.
Wenn du es mathematisch korrekt anschreiben willst, musst du die Wahrscheinlichkeit, den Messwert
zu finden, so anschreiben:
(siehe auch Lösung des 7. Tutoriums)
(b) Bei einer Messung der z-Komponente des Spins des ersten Teilchens den Wert zu messen.
Da ich nun die beiden Teilchen einzeln betrachten muss, aber in meiner Angabe nur die Wellenfunktion beider Teilchen zusammen gegeben habe, muss ich den guten alten Clebsch-Gordan bemühen - nur welche Tabelle nehmen?
Ich weiß, dass es zwei Spin-1/2 Teilchen sind, soll heißen:
, oder ausgedrückt in den j und
des Skriptums:
(siehe hierzu Formeln (5.57) bis (5.60) auf Seite 98)
Somit weiß ich auch, dass ich auf der CG-Tabelle die erste Tabelle links oben verwenden muss: 1/2x1/2.
Rechts oben ist zur Erklärung der Notation angezeigt, dass links die
und
stehen (also für uns
und
; die Notationen in Quanten scheinen ja nur so zu variieren...), oben die J und M (also s und
).
Da ich die Basis J, M gegeben habe, muss ich mir oben die entsprechenden Werte suchen, also 1 -1 und 0 0. Wenn ich dann die Werte rauslese, bekomme ich:
und
Insgesamt bekomme ich also
In der Lösung steht das Ganze einfach mit der Notation
Der gesuchte Wert
ist gemäß (5.33) auf Seite 95 der zur z-Komponente des Up-Spins gehörende Eigenwert.
So, jetzt wieder meine Wahrscheinlichkeit wie in Beispiel (a) eingesetzt: