1. Tutorium am 14. März 2008

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pat
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1. Tutorium am 14. März 2008

Beitrag von pat »

Die ersten Angaben sind online.
Nachdem ich mein Kastl neu aufgesetzt und mich durch seine Folien gewühlt habe, werd ich es mal in Angriff nehmen.
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ibi
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Beitrag von ibi »

Fein, Du beschäftigst dich mit Statistik, ich mit Quanten. :-)
(Aufsetzen muß ich auch gerade. *schauder*)

War irgendwer im Plenum? War das brauchbar?
David Seppi

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pat
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Beitrag von pat »

Tut mir leid, kann ich nicht sagen. Hab ihn von hinten einfach nicht verstanden und konnte nicht einmal die Folien lesen (meine Augen sind halt auch nicht mehr die besten).

Ja, ich beschäftige mich dieses Semester mit Statistik ;)
Kastl fertig aufgesetzt.
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ibi
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Beitrag von ibi »

Jetziger Stand:
1: WTF?
2: Hab ich, stell ich gleich rein.
3: Steht im Burgdörfer-Skript (Kapitel 3.1.2. [Auflage April 2006])

Kastl auch fertig aufgesetzt. Billy wurde durch einen Pinguin verjagt.
David Seppi

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ibi
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Beitrag von ibi »

Beispiel 2a)

Gleichung aus Angabe: dE = TdS - PdV + \mu dN

Aus TdS = \delta Q und N = const folgt:

\delta Q = dE + PdV

PV = NkT und E = \frac{3}{2} NkT --> E = \frac{3}{2} PV

Schritt i) Druckerhöhung von P_1 auf P_2 bei konstantem Volumen V_1.

PdV = 0 (konstantes Volumen)

\delta Q_i = dE = \frac{3}{2} V_1 dP

Q_i = \int_{P_1}^{P_2} \frac{3}{2} V_1 dP = \frac{3}{2} V_1 (P_2 - P_1)

Schritt ii) Volumserhöhung von V_1 auf V_2 bei konstantem Druck P_2.

\delta Q_{ii} = dE + P_2 dV = \frac{3}{2} P_2 dV + P_2 dV

Q_{ii} = \int_{V_1}^{V_2} \frac{5}{2} P_2 dV = \frac{5}{2} P_2 (V_2 - V_1)

Gesamtwärme:

Q = Q_i + Q_{ii} = \frac{3}{2} V_1 (P_2 - P_1) + \frac{5}{2} P_2 (V_2 - V_1) = \frac{5}{2} P_2 V_2 - P_2 V_1 - \frac{3}{2} P_1 V_1
Zuletzt geändert von ibi am 10.03.2008, 17:11, insgesamt 1-mal geändert.
David Seppi

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ibi
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Beitrag von ibi »

Beispiel 2b) Korrigierte Version! 11. März 2008 15:35

(P_1, V_1) \rightarrow (P_2, V_2) und P = X V

Anfang analog zu Bsp. 2a)

\color{red}dE = \frac{3}{2} (PdV + VdP)

weiter:

\color{red} \delta Q = \frac{3}{2} (PdV + VdP) + PdV = 3 VX dV + VX dV = 4VX dV

\color{red}Q = \int_{V_1}^{V_2} 4VX dV = 2V^2 X |_{V_1}^{V_2} = 2(V_2^2 X - V_1^2 X) = 2(V_2^2 \frac{P_2}{V_2} - V_1^2 \frac{P_1}{V_1}) = 2(P_2 V_2 - P_1 V_1)
Zuletzt geändert von ibi am 11.03.2008, 15:42, insgesamt 1-mal geändert.
David Seppi

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Gregor
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Beitrag von Gregor »

Schön. Kleiner Tippfehler weiter oben
bei \delta Q_{ii} = dE = \frac{3}{2} P_2 dV + P_2 dV sollte aber klar sein.

1) ist gar nicht so kompliziert. Die gegebene S-Funktion ableiten und Koeffizienten der Differentiale vergleichen.

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ibi
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Beitrag von ibi »

Gregor hat geschrieben:Schön. Kleiner Tippfehler weiter oben
bei \delta Q_{ii} = dE = \frac{3}{2} P_2 dV + P_2 dV sollte aber klar sein.
Stimmt, hab ich übersehn. Ist korrigiert.
Gregor hat geschrieben:1) ist gar nicht so kompliziert. Die gegebene S-Funktion ableiten und Koeffizienten der Differentiale vergleichen.
Hm, muß ich mir morgen noch genauer anschauen, mit Krümelchen als Experten. :)
David Seppi

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pat
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Beitrag von pat »

Gregor hat geschrieben:1) ist gar nicht so kompliziert. Die gegebene S-Funktion ableiten und Koeffizienten der Differentiale vergleichen.
Damit ist aber nicht wirklich folgendes gemeint, oder?
Angabe:S(E,V,N) = N k_B ln V + \frac{3}{2}N k_B ln E - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right)
dE = TdS - PdV + \mu dN

dS(E,V,N) = \frac{\partial S}{\partial E}dE + \frac{\partial S}{\partial V}dV + \frac{\partial S}{\partial N} dN

\frac{\partial S}{\partial E} = \frac{3}{2}N k_B \frac{1}{E}

\frac{\partial S}{\partial V} = N k_B \frac{1}{V}

\frac{\partial S}{\partial N} = ... egal

dS(E,V,N) = \frac{1}{T}dE + \frac{1}{T}PdV - \frac{1}{T}\mu dN = \frac{\partial S}{\partial E}dE + \frac{\partial S}{\partial V}dV + \frac{\partial S}{\partial N} dN

daraus folgt:

\frac{1}{T} = \frac{3}{2}N k_B \frac{1}{E} \rightarrow E(V,T,N) = \frac{3}{2}N k_B T

\frac{1}{T}P = N k_B \frac{1}{V} \rightarrow P(V,T,N) = \frac{N k_B T}{V}

Oder soll es das gewesen sein?
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Gregor
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Beitrag von Gregor »

Denke schon ja.

Cg

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pat
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Beitrag von pat »

So, zum letzten Beispiel: ich würd das einfach mit trivialer Mathematik lösen (ohne je ins Skriptum geschaut zu haben), indem ich folgende Rechnung durchführe:

T_a = T_b = T, N_a = N_b = N, V_a \neq V_b, V_c = V_a + V_b
Zeige S_c > S_a + S_b?
Aus Beispiel 1: E = \frac{3}{2}N k_B T sowie S(E,V,N) = N k_B ln V + \frac{3}{2}N k_B ln E - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right) aus der Angabe zu 1)

So, hier kommen dann diese beiden Überlegungen ins Spiel (wenn die nicht stimmen, funktioniert das Beispiel auf diese Methode sowieso nicht)
E_a + E_b = E_c ? Und damit:
E_a = \frac{3}{2}N_a k_B T_a = \frac{3}{2}N_b k_B T_b = E_b = \frac{3}{2}N k_B T = \frac{E}{2} ?

Somit würde sich ergeben:
S_a= N_a k_B ln V_a + \frac{3}{2}N_a k_B ln E_a - \frac{3}{2}N_a k_B ln \left( \frac{3}{2} N_a k_B\right) = \\ = N k_B ln V_a + \frac{3}{2}N k_B ln \frac{E}{2} - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right) und
S_b= N_b k_B ln V_b + \frac{3}{2}N_b k_B ln E_b - \frac{3}{2}N_b k_B ln \left( \frac{3}{2} N_b k_B\right) = \\ = N k_B ln V_b + \frac{3}{2}N k_B ln \frac{E}{2} - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right)

Damit dann
S_a + S_b= N k_B ln V_b + \frac{3}{2}N k_B ln \frac{E}{2} - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right) + \\ + N k_B ln V_b + \frac{3}{2}N k_B ln \frac{E}{2} - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right) = \\
= N k_B ln (V_a V_b) + \frac{3}{2} 2 N k_B ln \frac{E}{2} - \frac{3}{2} 2 N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right) = \\
= N k_B ln (V_a V_b) + 3 N k_B ln E - 3 N k_B ln 2 - 3 N k_B ln \left( 3 N k_B\right) + 3 N k_B ln 2 = \\
= N k_B ln (V_a V_b) + 3 N k_B ln E - 3 N k_B ln \left( 3 N k_B\right)

Und für S_c würde ich dann folgendes annehmen:
S_c= (N_a + N_b) k_B ln (V_a + V_b) + \frac{3}{2} (N_a + N_b) k_B ln (E_a + E_b) - \\ - \frac{3}{2} (N_a + N_b) k_B ln \left( \frac{3}{2} (N_a + N_b) k_B\right) = \\
= 2N k_B ln (V_a + V_b) + 3 N k_B ln E - 3 k_B ln \left( 3 N k_B\right)

Wenn ich die beiden nun gleichsetze (und alle gleichen Terme wegstreiche) bleibt noch:
S_c= 2 ln (V_a + V_b) = ln \left( (V_a + V_b)^2 \right) > ln (V_a V_b) = S_a + S_b
Naja, und mit der Einschränkung V_a V_b \neq 1 müsste der Beweis eigentlich stimmen; denke ich zumindest...

Gibt es einen "statistischeren" Beweis dafür?
Oder andere Meinungen?
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Barnacle
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Beitrag von Barnacle »

@ ibi Bsp 2b)

Wenn du E = 3/2 PV nimmst und jetzt aber weder P noch V konstant sind, dann müsste dE ja eigentlich dE = 3/2( PdV + VdP) sein!?

mit X=P/V folgt dann aber eh dass dP = X dV =>> VdP = PdV =>> dE = 3PdV

Grüße

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ibi
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Beitrag von ibi »

Du hast natürlich recht, d.h. ich hab 3 statt \frac{3}{2},
Ändert natürlich das Ergebnis ein bißchen, muß ich einarbeiten ...

Danke!
David Seppi

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ManuelO
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Beitrag von ManuelO »

Hier die fertigen Statistik Beispiele...
Bei Fehlern bitte posten, scheint aber alles halbwegs klar.

mfg Manuel
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pat
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Re: 1. Tutorium am 14. März 2008

Beitrag von pat »

Was kommt nun raus?

Über dE = 3 P dV sind wir uns ja mittlerweile einig, das heißt dann also dQ = dE + PdV = 4 P dV?

Und somit Q = 4\int_{V_1}^{V_2} P dV = 4X \int_{V_1}^{V_2} V dV = 2X (V_2^2 - V_1^2), was ja mit ManuelOs Lösung übereinstimmt.

Wenn dem so wäre, kann mir dann bitte wer verraten, was an der Lösung von ibi nicht stimmen soll?
Immerhin bekomme ich mit \frac{P}{V}=X
\color{red}2(P_2 V_2 - P_1 V_1)= 2\left((V_2 X) V_2 - (V_1 X) V_1\right) = 2X (V_2^2 - V_1^2)
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