3. übung 18.4.08

paperbag
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3. übung 18.4.08

Beitrag von paperbag »

hey leute

hat jemand einen plan - hab noch nie mit bra-ket gerechnet..

grüße, paperbag

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ibi
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von ibi »

Quanten I ist Dir ein Begriff?
Ansonsten dürfte die Statistik-Ue der Hammer werden ...

Kurzerklärung (Wischiwaschi, für dieses Bsp):
Bra <| entspricht einem Zeilenvektor, Ket | > einem Spaltenvektor.
<+| = (1 0) und <-| = (0 1), die jeweiligen Ket-Vektoren sind einfach die transponierten.
Du kannst dann ganz normal wie in LinAlg mit diesen Vektoren rechnen und in die Formeln aus dem Burgdörfer-Skript einsetzen. Bsp 1 und 3 sind damit trivial lösbar.
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pat
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von pat »

Stimmt das so? Grade bei 3 und 4 vermiss ich "hübsche" Ergebnisse :(

edit: nicht runterladen, ist falsch ;)
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ibi
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von ibi »

Bei Bsp 1 stimmt bei <Sy> das Vorzeichen nicht, da i^2 = -1.
Bsp 2 muß ich mir noch durch den Kopf gehen lassen ...
Bei Bsp 3 hab ich einne Fehler eingebaut, weshlab auch mein Bsp. 4 anders aussieht ... muß i no schaun.
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von pat »

Vergessen zu erwähnen: Bsp 2, siehe 4. Übung aus dem Jahr 2005, Beispiel 3 ;)

Beispiel 1 sollte stimmen; habs gerade nochmal nachgerechnet und die Vorzeichen scheinen zu passen...
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von ibi »

gracvaloth hat geschrieben:Beispiel 1 sollte stimmen; habs gerade nochmal nachgerechnet und die Vorzeichen scheinen zu passen...
Ich bin der Meinung, daß Dein \rho schon falsch ist.

a |+><+| = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

(b + ic) |+><-| = \begin{pmatrix} 0 & (b + ic) \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

(b - ic) |-><+| = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ (b - ic) & 0 \end{pmatrix}

d |-><-| = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}

\rho = \begin{pmatrix} a & b + ic \\ b - ic & d \end{pmatrix}
Das wäre genau die konjugiert-komplexe bzw. transponierte Lösung von Dir.
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von ibi »

Wieso darf ich bei Bsp 3 eigentlich nicht die Formel 2.52 aus dem Burgdörfer-Statistik-Skript verwenden?
(Das haben wir in der 1. QT2-Ue auch so gemacht.)

Das ergäbe dann nämlich für a:

\rho = |+> \frac{3}{4} <+|  +  |-> \frac{1}{4} <-| = \frac{3}{4} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Analog für b. Hab ich da irgendwas übersehen?
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von pat »

ibi hat geschrieben:Das wäre genau die konjugiert-komplexe bzw. transponierte Lösung von Dir.
Ich bin mir sowieso nicht sicher, wo in der Matrix das +- und wo das -+ angeordnet sind. Ist das Notationssache oder gibt es irgendwo eine genaue Definition?
ibi hat geschrieben:Wieso darf ich bei Bsp 3 eigentlich nicht die Formel 2.52 aus dem Burgdörfer-Statistik-Skript verwenden?
Keine Ahnung. Ich hab (2.49) verwendet.
Weil die |\psi^i \rangle sind ja nur die Eigenzustände der Dichtematrix \rho aus der Angabe, oder? Und für mich sieht es halt so aus, als müssten die gemischten Zustände doch irgendwie über die gegebene Dichtematrix definiert werden... glaub ich jetzt einmal.
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von ibi »

gracvaloth hat geschrieben:Ich bin mir sowieso nicht sicher, wo in der Matrix das +- und wo das -+ angeordnet sind. Ist das Notationssache oder gibt es irgendwo eine genaue Definition?
Das ist einfach LinAlg:

|+> = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

<-| = (0,1)

Daraus folgt: |+><-| = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} (0,1) =  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
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Beitrag von pat »

Oh... oh... wow, ist das simpel... ](*,) Ich bin echt ein Schwammerl...
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von ibi »

Jetzt muß ich nur noch verstehen, wieso Du 2.49 anwenden willst.
Schließlich schaut das nach hundsgewöhnlicher Basistransformation und nicht nach Berechnung aus.

Deine Lösung für 3a und 3b erfüllt übrigens (im Gegensatz zu meiner) nicht die Gleichung 2.56, kann also nicht stimmen.
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von pat »

Sag ich ja, dass sie komisch aussieht ^^
ibi hat geschrieben:\rho = |+> \frac{3}{4} <+|  +  |-> \frac{1}{4} <-| = \frac{3}{4} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
tr \frac{3}{4}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}ist allerdings auch nicht 1, sondern 3. Kleiner Tippfehler ;)

Und da seh ich auch schon einen neuen Fehler bei mir. Zu dumm, wenn man |+> = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} annimmt.
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von ibi »

Bei Beispiel 4 kann ich nicht nachvollziehen, wie Du von \dot\rho auf \rho kommst (vorletzte auf letzte Zeile). Eine etwas ungewöhnliche Art Differentialgleichungen zu lösen
Schau Dir einmal QTII 1. Plenum an (oder die Diskussion im Forum zum 1. QT2-Tutorium), da wurde das durchgerechnet.

Mein Ansatz schaut so aus:

\rho(t) = \begin{pmatrix} a & b \\ b* & c \end{pmatrix}
Das ist ein allgemeiner Ansatz, den man bei solchen Problemen verwendet. a,b,c haben mit den Konstanten aus der Angabe zum 1. Bsp nichts zu tun.
a,b,c sind Funktionen der Zeit, aber ich schreibe aus Bequemlichkeit nur a und nicht a(t).

Aus dem Ansatz folgt: \dot \rho(t) = \begin{pmatrix} \dot a & \dot b \\ \dot b* & \dot c \end{pmatrix}

H \rho - \rho H = \omega \hbar \begin{pmatrix} 0 & -b \\ b* & 0 \end{pmatrix}

Einsetzen in die Lioville von Neumann-Gleichung:

\dot \rho = -i\omega \begin{pmatrix} 0 & -b \\ b* & 0 \end{pmatrix}

Damit erhält man drei Differentialgleichungen (eigentlich vier, aber die 2. und 3. sind ident):

\dot a = 0 \rightarrow a = a(0)

\dot b = i \omega b \rightarrow b = A e^{i \omega t}

\dot c = 0 \rightarrow c = c(0)

Irgendwas hat's aber noch, da bei mir nach Einsetzen der Anfangsbedingungen rauskommt, daß das Zeug stationär ist.
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von ibi »

gracvaloth hat geschrieben:tr \frac{3}{4}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}ist allerdings auch nicht 1, sondern 3. Kleiner Tippfehler ;)
Hoppla, es sollte natürlich ein Viertel sein. *g*
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Re: 3. übung 18.4.08

Beitrag von pat »

Okay, werd ich dann morgen machen...
Ich denk derzeit - wenn überhaupt - nicht kompliziert genug ;)
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