7. Übung (6. Juni 2008)

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ibi
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7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von ibi »

Hat irgendjemand eine Idee fürs 1. Beispiel?
Eigenenergie von einem Teilchen und Anzahl der Teilchen im Zustand erscheint mir noch relativ klar, aber ich kämpfe gerade mit dem Erwartungswert der Gesamtenergie <E>.

Im Skript ist er im Kapitel 5.1.1 durchgerechnet, allerdings nur für ein ideales Gas (H hängt nur vom Impuls ab).
Durch unsere harmonische Falle haben wir aber noch zusätzlich eine Ortskomponente.

Im Skript haben sie sich das Leben mit der Dispersionsrelation p = \hbar k und dem Umstand, daß H drehinvariant ist, weitergeholfen, was mir das Integral über die drei Impulskomponenten erleichtert.
Was mach ich aber mit den drei Ortskomponenten, die ja bei einem idealen Gas ohne Falle egal wären?

Gemeint ist folgende Formel:

\Omega = \int\frac{d^3 r d^3 p}{h^3}
David Seppi

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m0tzerl
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Re: 7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von m0tzerl »

wah kryptisch. sitz schon seit 2 h und noch keinen strich weiter...
hat schon wer was? oder am besten hat schon wer alles? wenn ja, her damit ;)

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themel
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Re: 7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von themel »

ibi hat geschrieben:Im Skript haben sie sich das Leben mit der Dispersionsrelation p = \hbar k und dem Umstand, daß H drehinvariant ist, weitergeholfen, was mir das Integral über die drei Impulskomponenten erleichtert.
Was mach ich aber mit den drei Ortskomponenten, die ja bei einem idealen Gas ohne Falle egal wären?
Nicht, dass ich mir das Ganze angeschaut hätte, aber ist das nicht wieder der alte "reskalieren, sechsdimensionale Kugel"-Fall?

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ibi
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Re: 7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von ibi »

Blöderweise stehen im Skript wie immer keine Integralgrenzen, also geh ich eher über ein Integral über den gesamten Raum aus.
Dann hab ich aber leider keine Kugel.
David Seppi

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themel
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Re: 7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von themel »

Ich würde annehmen, bei einer bestimmten Energie hat man eine sechsdimensionale Kugel, und man muss das dann noch irgendwie umpfuschen, um halt die Wahrscheinlichkeit, verschiedene Energien zu kriegen, einzubeziehen (\beta T, \mu N)? Ich hab' am Montag Quantenprüfung, ich verlass' mich auf euch :)

m0tzerl
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Re: 7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von m0tzerl »

hmmm, vielleicht hilft hinweis 1? nur wie gibt sich der mittelwert der energie aus der anzahl der zustände???

dj öamtc
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Re: 7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von dj öamtc »

2007 Übung 9 Bsp. 2 ist teilweise mit dieser Übung ident.

lizard018
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Re: 7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von lizard018 »

kann bitte jemand die übung online stellen. schaff es selber ledier nicht mehr.

danke.

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ibi
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Re: 7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von ibi »

Bsp. 1:
<N(n_x, n_y, n_z)> = g(\epsilon) <n(\epsilon)> = \frac{\epsilon^2}{2(\hbar \omega)^3}\cdot \frac{1}{e^{\beta (\epsilon - \mu)}-1}
g wird aus der Angabe entnommen (Hinweis 1) und <n> kommt aus Formel (4.39).

E = \int d\epsilon \epsilon <N(\epsilon)> =  \int d\epsilon \frac{\epsilon^3}{2(\hbar \omega)^3}\cdot \frac{1}{e^{\beta (\epsilon - \mu)}-1}

Bsp. 2:

Die Anzahl der Bosonen im Grundzustand divergiert, wenn <N(0)> divergiert.
Das passiert dann, wenn e^{\beta (\epsilon(0) - \mu)} - 1 = 0 bzw. \beta (\epsilon(0) - \mu) = 0

Daraus folgt: \mu_c = \epsilon(0) = \hbar \omega \frac{3}{2}

<N(\epsilon > 0)> = \int_0^\infty <N(\epsilon)> für \mu = \mu_c

= \int_0^\infty \frac{\epsilon^2}{2(\hbar \omega)^3}\cdot \frac{1}{e^{\beta (\epsilon - \mu)}-1}
David Seppi

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depp
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Re: 7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von depp »

Ich hab da eine Lösung von jemanden der eine Lösung von jemanden hat der eine Lösung von jemanden hat .....!
Also ohne gewähr und ich kenn mich auch nicht aus damit ;)!
Du hast keine ausreichende Berechtigung, um die Dateianhänge dieses Beitrags anzusehen.

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ibi
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Re: 7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von ibi »

Bsp 4 anyone?

Prinzipiell ist es mir klar:
Hamilton-Operator wird auf eine Orts- und eine Impulskoordinate beschränkt, was die Formeln für N0 usw. ändert.
Dann muß man vermutlich irgendwie zeigen, daß µc nicht existiert.
David Seppi

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romeopapa
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Re: 7. Übung (6. Juni 2008)

Beitrag von romeopapa »

ich glaub, beim bsp 4 zeigt man, dass im eindimensionalen fall auch die anzahl der angeregten zustände divergiert

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