5. Übung, am 24. Mai 2009

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Wenn Du Lösungsansätze zu Beispielen suchst oder schreibst, stelle nach Möglichkeit auch die dazugehörenden Angaben zur Verfügung - am besten als Dateianhang, da die meisten Übungsangaben auf Institutshomepages nach einem Semester gelöscht werden.
So haben auch die nächsten Semester noch etwas davon ;)
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pat
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5. Übung, am 24. Mai 2009

Beitrag von pat »

uebung05.pdf
Beispiel 12:

S(T)=-k_B Spur (\rho ln \rho)=-k_B \langle ln \rho\rangle = -k_B \langle ln( \frac{1}{Z}e^{-\beta H})\rangle=-k_B\langle -ln Z -\beta H\rangle mit \beta = 1/(k_B T)

\langle ln Z \rangle = Spur \left(\frac{1}{Z}e^{-\beta H} ln(Z)\right) = \frac{1}{Z}ln(Z)Spur\left(e^{-\beta H}\right) = Z \frac{1}{Z} ln(Z) = ln(Z) wegen Z(T) = Spur\left(e^{-\beta H}\right)

Zurück zur Zeile darüber: S(T) = k_B ln(Z) + k_B \beta \langle H \rangle

\langle H \rangle = Spur (H\rho) = \frac{1}{Z} Spur\left(H e^{-\beta H}\right)= \frac{1}{Z} Spur\left(-\frac{\partial}{\partial\beta}e^{-\beta H}\right)\\=-\frac{1}{Z}\frac{\partial}{\partial\beta}Spur\left(e^{-\beta H}\right)=-\frac{1}{Z}\frac{\partial}{\partial\beta}Z=-\frac{\partial}{\partial\beta}ln(Z)

Und wieder zurück: S(T)=k_B ln(Z)-k_B \beta \frac{\partial}{\partial\beta}ln(Z)=k_B ln(Z)+k_B T \frac{\partial}{\partial T}ln(Z) = k_B \frac{\partial}{\partial T}\left( T ln(Z)\right) = -\frac{\partial F(T)}{\partial T}= S(T) q.e.d.

Beispiel 13:
Ich mein, entweder ich versteh es falsch, oder wir sollen da wirklich nur in die Darstellung einsetzen und dann mit Hilfe des Hinweises explizit nochmal alle Komponenten ausrechnen?
\hat{n}=(sin\theta cos\phi,sin\theta sin\phi,cos\theta)
\hat{\rho}=\frac{1}{2}[\hat{\mathbb{1}}+\hat{n}\cdot\vec{\sigma}]

Gut, dann wissen wir noch, wie unsere Paulimatrizen aussehen:
\sigma_x=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}, \; \sigma_y=\begin{pmatrix}
0 & -i\\ 
i & 0
\end{pmatrix},\; \sigma_z=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 
0 & -1
\end{pmatrix}

a)
Ergibt dann also insgesamt:
\hat{\rho}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1+cos\theta & sin\theta cos\phi -i \sin\theta sin\phi\\ 
sin\theta cos\phi +i \sin\theta sin\phi & 1-cos\theta
\end{pmatrix}

So, das dann in den Hinweis, wobei unser Operator A jetzt unser Dichteoperator ist und ausrechnen:
a_0 = \frac{1}{2}Spur[\hat{\rho}]=\frac{1}{2}

a_x = \frac{1}{2}Spur[\sigma_x \hat{\rho}]=\frac{1}{2}Spur\begin{pmatrix}
sin\theta cos\phi -i \sin\theta sin\phi & 1+cos\theta\\ 
1-cos\theta & sin\theta cos\phi +i \sin\theta sin\phi\end{pmatrix}=\frac{1}{2}sin\theta cos\phi

a_y = \frac{1}{2}Spur[\sigma_y \hat{\rho}]=\frac{1}{2}Spur\begin{pmatrix}
i sin\theta cos\phi + \sin\theta sin\phi & -i-i cos\theta\\ 
i-i cos\theta & -i sin\theta cos\phi + \sin\theta sin\phi\end{pmatrix}=\frac{1}{2}sin\theta sin\phi

a_z = \frac{1}{2}Spur[\sigma_z \hat{\rho}]=\frac{1}{2}Spur\begin{pmatrix}
1+cos\theta & -sin\theta cos\phi +i \sin\theta sin\phi\\ 
sin\theta cos\phi +i \sin\theta sin\phi & -1+cos\theta\end{pmatrix}=\frac{1}{2}cos\theta

q.e.d.

b)
Ja, kann man vorhersagen, weil bei reinen Zuständen gilt \rho^2=\rho
Aber explizit berechnet:
\rho^2=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
(1+cos\theta)^2 +sin^2\theta cos^2\phi +sin^2\theta sin^2\phi & (1+cos\theta+1-cos\theta)(sin\theta cos\phi -i \sin\theta sin\phi)\\ 
(1+cos\theta+1-cos\theta)(sin\theta cos\phi + i \sin\theta sin\phi) & sin^2\theta cos^2\phi +sin^2\theta sin^2\phi +(1-cos\theta)^2
\end{pmatrix}

\rho^2=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2+2cos\theta & 2(sin\theta cos\phi -i \sin\theta sin\phi)\\ 
2(sin\theta cos\phi +i \sin\theta sin\phi) & 2-2cos\theta
\end{pmatrix}=\rho

c)
\hat{\rho}=\begin{pmatrix}
p & 0\\ 
0 & 1-p\end{pmatrix}

a_0 = 1/2,\; a_x=0,\; a_y=0,\; a_z=p-1/2

\hat{\rho}=\frac{1}{2}\left[\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 
0 & 1\end{pmatrix} + (2p-1) \begin{pmatrix}
1 & 0\\ 
0 & -1\end{pmatrix}\right]=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
p & 0\\ 
0 & 1-p\end{pmatrix} q.e.d.

Wir erwarten und erhalten auch \rho^2 \ne \rho

d)
Zu Beginn haben wir \rho(t=0)=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 
0 & 3\end{pmatrix}

Wir schreiben uns den Dichteoperator wieder allgemein mit einem Vektor (x,y,z,) an:
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1+z & x-iy\\ 
x+iy & 1-z\end{pmatrix}
Umbennen auf a=1+z, b=x, c=y, d=1-z liefert uns
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
a & b-ic\\ 
b+ic & d\end{pmatrix}

Unser Hamiltonoperator lautet (siehe letzte Woche): H=-\gamma B S_x mit S_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 
1 & 0\end{pmatrix}

Einsetzen in die Gleichung i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\rho(t)=[H,\rho(t)] liefert uns: \frac{\partial}{\partial t}\rho(t) = \frac{1}{2}\frac{i}{\hbar}\gamma B\left(S_x\rho - \rho S_x)

\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix}
a & b-ic\\ 
b+ic & d\end{pmatrix}=\frac{i\gamma B}{2}\left[\begin{pmatrix}
b+ic & d\\ 
a & b-ic\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
b-ic & a\\ 
d & b+ic\end{pmatrix}\right]=\frac{i\gamma B}{4}\begin{pmatrix}
2ic & d-a\\ 
-(d-a) & -2ic\end{pmatrix}

Also haben wir folgende Gleichungen:
\dot{a}(t)=-\gamma B c(t)
\dot{b}(t)-i\dot{c}(t)=\frac{i}{2}\gamma B (d(t)-a(t))
-\dot{b}(t)-i\dot{c}(t)=-\frac{i}{2}\gamma B (d(t)-a(t))
\dot{d}(t)=\gamma B c(t)

Aus der zweiten + dritten würde ich sagen: \dot{c}(t)=0 \rightarrow c(t)=c(0)=0

Das eingesetzt in die erste und vierte Gleichung ergibt mir a(t)=a(0)=1/4 bzw. d(t)=d(0)=3/4

Und dann noch: b(t)=\left(d(0)-a(0)\right)e^{\frac{\gamma B t}{2}}

Demnach: \rho(t)=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
1 & 2e^{\frac{\gamma B t}{2}}\\ 
-2e^{\frac{\gamma B t}{2}} & 3\end{pmatrix}
Kommt mir etwas spanisch vor, aber was solls...

Beispiel 14:
\langle\psi|_1 \langle\psi|_2|\phi\rangle_1|\phi\rangle_2=\langle\psi|_1 \langle\chi|_2 \hat{U}^{-1}\hat{U}|\phi\rangle_1|\chi\rangle_2=\langle\psi|_1 \langle\chi|_2|\phi\rangle_1|\chi\rangle_2

\langle\psi|_1 |\phi\rangle_1 \langle\psi|_2|\phi\rangle_2= \langle\psi|_1 |\phi\rangle_1 \langle\chi|_2|\chi\rangle_2=\langle\psi|_1 |\phi\rangle_1

Das Klonen funktioniert demnach nur für \langle\psi|\chi\rangle=0 (orthogonal aufeinander) oder \langle\psi|\chi\rangle=1 (\phi = \psi), also auf keinen Fall für beliebige Zustände.

Frohe Ostern noch ;)
Und könnte bitte jemand das 13d kontrollieren?
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Zuletzt geändert von theo am 24.04.2009, 10:57, insgesamt 2-mal geändert.
Grund: Fehler ausgebessert, Bsp12 erste Zeile: ln hat gefehlt
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Berni
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Re: 5. Übung, am 24. Mai 2009

Beitrag von Berni »

Also bei Bsp.13 a.) müssen wir glaub ich eher den Spin-Up Eigenzustand des allgemeine Stern-Gerlachs berechnen und aus dem dann den Dichteoperator bilden. Da kommt man dann (über den Hinweis) genau auf diese Form. Du beweist ja eigentlich nur, dass der Hinweis gilt.

Berni
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Re: 5. Übung, am 24. Mai 2009

Beitrag von Berni »

ad 13 d:

Ich glaub in der 3ten Gleichung ist ein Vorzeichenfehler, oder?

keyciii
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Re: 5. Übung, am 24. Mai 2009

Beitrag von keyciii »

Sollte beim 13 d nicht was oszillierendes rauskommen???

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pat
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Re: 5. Übung, am 24. Mai 2009

Beitrag von pat »

Ja, bei 13d ist garantiert ein Vorzeichenfehler! Demnach fällt zuerst das b weg.

a\dot{a}(t)=-\gamma B c(t)
\dot{b}(t)-i\dot{c}(t)=\frac{i}{2}\gamma B (d(t)-a(t))
\dot{b}(t)+i\dot{c}(t)=-\frac{i}{2}\gamma B (d(t)-a(t))
\dot{d}(t)=\gamma B c(t)

Aus 2+3: \dot{b}(t)=0 \rightarrow b(t)=b(0)=0
Aus 2-3: -2i\dot{c}(t)=i\gamma B(d-a)

Und schon hab ich überall lauter lustige e-Funktionen drinnen. Hurra!
keyciii hat geschrieben:Sollte beim 13 d nicht was oszillierendes rauskommen???
Ja, denke ich auch, aber irgendwie fehlt mir gerade das i in der e-Funktion, um ein hübsche Winkelfunktion zu basteln...
Ich hab das Forum lieb, weil es schon so lange da ist und man auch Infos von höheren Semestern bekommt :)

Berni
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Re: 5. Übung, am 24. Mai 2009

Beitrag von Berni »

Bei mir kommt was oszillierendes raus...nur hab ich auf dem weg dort hin eine konstante wählen müssen, was irgendwie unelegant is:

a = 2 - Cos[w*t]
b = 0
c = Sin[w*t]
d = 2 + Cos[w*t]

und die ganze matrix dann noch mal 1/4

keyciii
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Re: 5. Übung, am 24. Mai 2009

Beitrag von keyciii »

...und welchen Hamiltonoperator hast du da genommen, um auf diese Lösung zu kommen???
a = 2 - Cos[w*t]
b = 0
c = Sin[w*t]
d = 2 + Cos[w*t]

Berni
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Re: 5. Übung, am 24. Mai 2009

Beitrag von Berni »

eh den selben wie gracvaloth, habs nur so: H = - w*Sx (Omega mal Spin-x-operator) zusammengefasst

Berni
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Re: 5. Übung, am 24. Mai 2009

Beitrag von Berni »

aja und meine matrix einträge beziehen sich auf die von gracvaloth...also rho = {{a,b+ic},{b-ic,d}}

keyciii
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Re: 5. Übung, am 24. Mai 2009

Beitrag von keyciii »

ok. Super, danke

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